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| Aufgabe | | Beweise: Die Tangente an den Graphen der e-Funktion im Punkt P(x; [mm] e^x) [/mm] schneidet die 1. Achse an der Stelle x -1. |
Ich brauche Hilfe zu dieser Aufgabe. Weiß nicht wirklich, wie ich das beweisen soll. Hab mir mal gedacht, dass die Steigung der Tangente ja dann [mm] e^x [/mm] beträgt. Dann fehlen mir jegliche Ansätze für den Beweis.
Vielen dank für eventuelle Hinweise
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jassy!
Bestimme die Tangentengleichung an der (beliebigen) Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ a$ mit der Formel:
$$t(x) \ = \ f'(a)*(x-a)+f(a)$$
Von dieser Tangente für die genannte Funktion nun die Nullstelle ermitteln.
Gruß
Loddar
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Also hab ich das richtig verstanden, dass ich mir einen Punkt, z.B. (0/5) denken soll?
Die Gleichung wäre dann: [mm] e^5 [/mm] *(x-5) +5 ?
Wie ermittle ich dann jetzt die Nullstellen? Ich muss dóch auch denn Punkt P [mm] (x,e^x) [/mm] einbeziehn?
Weiß hier wirklich nicht mehr weiter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Fr 11.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es reicht nicht, sich einfach den Punkt [mm] (5;e^5) [/mm] herauszusuchen. Es soll ja gezeigt werden, dass es für alle Punkte gilt.
Nimm entweder Loddars fertige Formel, oder mach es so:
Wir nehmen uns den allgemeinen Punkt [mm] (x;e^x), [/mm] der auf der Kurve [mm] e^x [/mm] liegt. Nun, die Tangente im Punkt [mm] (x;e^x) [/mm] hat die Steigung f'(x)=?. Wie ist also die Steigung der Tangente? Gut, wenn du das dann hast, kennst du ja von y=mx+n die Steigung m. Wenn du das kennst, kannst du wieder den Punkt P einsetzen, und dann den y-Achsen-Abschnitt n bestimmen. Dann kommst du auf die selbe Gleichung, die Loddar schon geschrieben hat.
Jetzt nimmst du dir die Geradengleichung her (vorsicht, wenn du mit den x-en arbeitest...
Du kannst dir aber auch erst einen Punkt hernehmen, das durchrechnen, und dann allgemein das ganze durchrechnen.
LG
Kroni
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So hab ich die Aufgabe auch zu erst bearbeitet
bin dann auf die gleichung: [mm] e^x=e^x [/mm] *x+n gekommen. Für n hab ich dann rausbekommen n= [mm] e^x/x [/mm] - [mm] e^x
[/mm]
Das kam mir bisschen komisch vor. Stimmt das?
Weiter wusst ich dann auch nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 11.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub, du bringst den festen Punkt x, und das variable x der Tangente durcheinander.
statt deinem Punkt [mm] 5,e^5 [/mm] nimm einfach einen beliebigen, nenn ihn aber nicht x sondern [mm] a,e^a [/mm] dann hast du die Steigung [mm] e^a [/mm] also [mm] y=e^a*x+n
[/mm]
n so bestimmen, dass es durch den Punkt [mm] (a,e^a)geht: [/mm] also [mm] e^a=e^a*a+n
[/mm]
[mm] n=e^a(1-a)
[/mm]
also hast du die Gleichung für die Tangente [mm] y=e^a*x [/mm] + [mm] e^a*(1-a)
[/mm]
davon suchst du jetzt den Schnittpunkt mit der x-Achse.
Gruss leduart
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Danke, ich hab das jetzt soweit verstanden
wenn ich die Gleichung nach 0 auflöse, steht dann da: [mm] e^a [/mm] (x +1-a).
für x kommt dann aber am Ende raus -1+a. Aber da müsste doch eigentlich nur -1 rauskommen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 11.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
unsere Stelle hiess ja a, in der Aufgabe heisst die Stelle (sehr ungeschickt benannt) x. dann Steht da: die Schnittstelle ist x-1, du hast a-1 weil du die Stelle a und nicht x genannt hast, um nicht durcheinander zu kommen.
Also bist du fertig und es ist richtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 11.04.2008 | | Autor: | jassy2005 |
Vielen Dank für die Gedult
Jetzt hab ich die Aufgabe verstanden
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Hallo Jasmin,
P ist der Kurvenpunkt, P' sei der Fusspunkt des Lotes von P auf die x-Achse und S der gesuchte Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse. Dann ist die Steigung der Tangente gleich dem Verhältnis der Strecke PP' zu SP'! PP' ist gerade die y-Koordinate von P, also gleich [mm] e^x. [/mm] Daraus erhältst du ganz leicht das gewünschte Ergebnis.
Viel Erfolg!
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