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Beweis Sigma-Algebra: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Do 18.04.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Seien [mm] \varepsilon_1, \varepsilon_2 \subset [/mm] Potenzmenge(X) zwei beliebige Mengenfamilien.
Zu zeigen ist:
[mm] \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \subset \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1) \cap \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_2) [/mm]


Hallo,

Ich suche nach einem allgemeinen Hinweis, wie dieser Beweis anzugehen ist.
Insbesondere ist mir unklar, was genau unter einer
Sigma-Algebra einer Mengenfamilie zu verstehen ist.
Mir ist die allgemeine Definition/"Funktionsweise" dieser bekannt, allerdings
liegen mir keine konkreten Beispiele für [mm] \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon) [/mm] vor (Literatur und Internet). Handelt es
sich hierbei um den [mm] \sigma-Operator? [/mm] (https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra#Operationen).
Steht die Aufgabe in der Verbindung zu der Eigenschaft, dass
für jeden Mengenring [mm] \varepsilon \subset [/mm] P(X) gilt, dass eine
Mengenalgebra [mm] M(\epsilon)=\mathcal{A}_\sigma (\varepsilon) [/mm] ?

Hilfe/Hinweise wären nett, insbesondere da ich auf diese Weise eine weitere ähnliche Teilaufgabe angehen könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:19 Do 18.04.2019
Autor: fred97


> Seien [mm]\varepsilon_1, \varepsilon_2 \subset[/mm] Potenzmenge(X)
> zwei beliebige Mengenfamilien.
>  Zu zeigen ist:
>  [mm]\mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \subset \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1) \cap \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_2)[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Ich suche nach einem allgemeinen Hinweis, wie dieser Beweis
> anzugehen ist.
>  Insbesondere ist mir unklar, was genau unter einer
>  Sigma-Algebra einer Mengenfamilie zu verstehen ist.


Ist [mm] \varepsilon [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge von X, so ist [mm] \mathcal{A}_{\sigma}(\varepsilon) [/mm] der Durchscnitt aller [mm] \sigma [/mm] - Algebren auf X, die [mm] \varepsilon [/mm] enthalten.



>  Mir ist die allgemeine Definition/"Funktionsweise" dieser
> bekannt, allerdings
>  liegen mir keine konkreten Beispiele für
> [mm]\mathcal{A}_\sigma (\varepsilon)[/mm] vor (Literatur und
> Internet). Handelt es
> sich hierbei um den [mm]\sigma-Operator?[/mm]

Ja.


> (https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra#Operationen)
>  
> Hilfe/Hinweise wären nett, insbesondere da ich auf diese
> Weise eine weitere ähnliche Teilaufgabe angehen könnte.

Für i=1,2 ist [mm] \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 \subseteq \varepsilon_i. [/mm]

Die Monotonie des [mm] \sigma [/mm] - Operators liefert dann

   [mm] \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \subseteq \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_i) [/mm]

und damit


    $ [mm] \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \subseteq \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_1) \cap \mathcal{A}_\sigma (\varepsilon_2) [/mm] $.

Das war es schon.


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 Do 18.04.2019
Autor: TS85

Danke für den Hinweis, welcher mir sehr dabei geholfen hat verschiedene Dinge mal zusammenzubringen.
Ich hätte noch eine Frage:
Wenn die gleiche Aufgabenstellung bestehen würde, man allerdings die Teilmenge zu einer Obermenge macht [mm] (\subset [/mm] zu [mm] \supset), [/mm] wäre
die Behauptung komplett zu widerlegen oder müssten Fallunterscheidungen
durchgeführt werden (wobei ich vermute, dass es nicht geht)?

Bezug
                        
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Do 18.04.2019
Autor: fred97


> Danke für den Hinweis, welcher mir sehr dabei geholfen hat
> verschiedene Dinge mal zusammenzubringen.
>  Ich hätte noch eine Frage:
>  Wenn die gleiche Aufgabenstellung bestehen würde, man
> allerdings die Teilmenge zu einer Obermenge macht [mm](\subset[/mm]
> zu [mm]\supset),[/mm] wäre
>  die Behauptung komplett zu widerlegen oder müssten
> Fallunterscheidungen
>  durchgeführt werden (wobei ich vermute, dass es nicht
> geht)?


Deine  Frage ist sehr unpräzise gestellt.  Formuliere sie  also etwas  genauer.



Bezug
                                
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Do 18.04.2019
Autor: TS85

Ersteinmal noch eine Frage zur ersten Aufgabe: Es ist in
der Aufgabenstellung von [mm] \subset [/mm] die Rede, nicht von [mm] \subseteq. [/mm]
Muss hier nicht noch die Einschränkung gemacht werden, dass [mm] \varepsilon_1 [/mm] nicht komplett in [mm] \varepsilon_2 [/mm] liegt?

Zur zweiten Aufgabenstellung:
Gleichen Bedingungen wie zuvor, nur mit der Aufgabe

Zeigen oder widerlegen Sie:
[mm] \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \supset \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1) \cap \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_2) [/mm]

Mein einfacher Gedanke wäre nun mit der Kenntniss aus der vorherigen Aufgabe, dass

[mm] \varepsilon_1 \subset \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 [/mm]
[mm] \varepsilon_2 \subset \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 [/mm]
nicht erfüllt werden kann, außer wenn [mm] \varepsilon_1 \subseteq \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 [/mm]
gültig wäre mit [mm] \varepsilon_1 \subset \varepsilon_2, [/mm]
da sonst [mm] \varepsilon_1 [/mm] nicht im Schnitt liegen kann.
[mm] \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 \subset \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2 [/mm]
ist auch nicht erfüllbar.

Insbesondere gilt die Monotonie nur für eine Teilmenge und nicht Obermenge.
Was wäre hier der richtige Ansatz?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Do 18.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ersteinmal noch eine Frage zur ersten Aufgabe: Es ist in
>  der Aufgabenstellung von [mm]\subset[/mm] die Rede, nicht von [mm]\subseteq.[/mm]

Das hängt stark vom Autor ab.
Viele meinen mit [mm] \subset [/mm] einfach [mm] \subseteq [/mm] so auch hier. Ansonsten wäre die Aussage falsch, was du leicht mit [mm] $\varepsilon_1 [/mm] = [mm] \varepsilon_2$ [/mm] nachprüfen kannst.

> Zur zweiten Aufgabenstellung:
>  Gleichen Bedingungen wie zuvor, nur mit der Aufgabe
>  
> Zeigen oder widerlegen Sie:
>  [mm]\mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2) \supset \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1) \cap \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_2)[/mm]
>
> Mein einfacher Gedanke wäre nun mit der Kenntniss aus der
> vorherigen Aufgabe, dass
>  
> [mm]\varepsilon_1 \subset \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2[/mm]
>  
> [mm]\varepsilon_2 \subset \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2[/mm]
>  
> nicht erfüllt werden kann, außer wenn [mm]\varepsilon_1 \subseteq \varepsilon_1 \cap \varepsilon_2[/mm]

Muss ja auch gar nicht erfüllt sein.
Du unterliegst hier einem gewaltigen Trugschluss:
Zwar gilt, dass aus [mm] $\varepsilon_1 \subset \varepsilon_2$ [/mm] auch [mm] $A_\sigma(\varepsilon_1) \subset A_\sigma(\varepsilon_2)$ [/mm] folgt, die Umkehrung muss aber keineswegs gelten. Dies würde aus deinem Ansatz jedoch folgen.
Mehr noch, [mm] \varepsilon_1 [/mm] und [mm] \varepsilon_2 [/mm] können sogar disjunkt  sein und deren erzeugte Sigma Algebra trotzdem übereinstimmen.

>  Was wäre hier der richtige Ansatz?

Um etwas zu widerlegen reicht ein einfaches Gegenbeispiel.
Nimm an  [mm] \varepsilon_1 [/mm] enthalte exakt eine Menge A und [mm] \varepsilon_2 [/mm] enthalte nur deren Komplement.
Jetzt berechne mal die entsprechenden Sigma Algebren...

Gruß,
Gono

PS: Ich möchte dir noch eine alternative Definition von [mm] A_\sigma(\varepsilon) [/mm] nennen.
[mm] "$A_\sigma(\varepsilon)$ [/mm] ist die kleinste Sigma Algebra, die [mm] \varepsilon [/mm] enthält."
Natürlich ist diese äquivalent zu freds, aber manchmal ganz nützlich. Als Übung kannst du ja mal zeigen, dass beide Definitionen äquivalent sind.


Bezug
                                                
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Do 18.04.2019
Autor: TS85

Ich bin seit meiner Frage heute Vormittags auch nicht mehr ganz im Thema drin, wollte aber möglichst bald schreiben, wenn eine Antwort vorliegt.

d.h. z.B für jede beliebige Menge X
und [mm] \varepsilon_1 [/mm] mit A und [mm] \varepsilon_2 [/mm] mit [mm] A^c [/mm]
wäre

[mm] \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1)=\{\emptyset,X,A,A^c\}=\mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_2) [/mm]

was allerdings keine Untermenge von [mm] \mathcal{A}_\sigma(\{\emptyset\})= \mathcal{A}_\sigma(\varepsilon_1 \cap \varepsilon_2)=\{\emptyset,X\} [/mm] ist, weswegen ein Widerspruch zur Aussage entsteht.

Danke für den Hinweis, ich hoffe ich habe das ganze nicht fehlinterpretiert.


Bezug
                                                        
Bezug
Beweis Sigma-Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:42 Do 18.04.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Danke für den Hinweis, ich hoffe ich habe das ganze nicht fehlinterpretiert.

hast du nicht.

Gruss,
Gono


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