Beweis Steinitz < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 13.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, [mm] X=\{x_{1},...,x_{n}\} [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von V, [mm] B=\{b_{1},...,b_{m}\} [/mm] eine Basis von V.Dann gibt es eine Teilmenge B' von B derart,dass B' [mm] \cap X=\emptyset [/mm] und X [mm] \cup [/mm] B' ist Basis von V. |
Hallo zusammen^^
Ich versuche den Beweis des Austauschsatzes von Steinitz zu verstehen, aber verstehs halt nicht ganz.
Beweis:
"Sei B' eine maximale Teilmenge von V, sodass B' [mm] \cap X=\emptyset [/mm] und B' [mm] \cup [/mm] X ist linear unabhängig.Wir zeigen: [mm] V=Lin_{k}\{B' \cup X\}. [/mm] (So eine Teilmenge B' existiert,weil [mm] \emptyset \subset [/mm] B, [mm] \emptyset \cap X=\emptyset, \emptyset \cup [/mm] X ist linear unabhängig.)"
Bis hierhin hab ich alles verstanden,aber jetzt kommts:
"Für Jedes b [mm] \in B\{B'\} [/mm] ist B' [mm] \cup [/mm] X [mm] \cup \{b\} [/mm] nicht linear unabhängig oder b [mm] \in [/mm] X."
Das versteh ich nicht.Wieso gilt hier diese "oder"-Beziehung?
Ist B' [mm] \cup [/mm] X [mm] \cup \{b\} [/mm] deswegen linear abhängig,weil B' [mm] \cup [/mm] X linear unabhängig ist und wenn man zu einer linear unabhängigen Menge einen vektor hinzufügt, wird diese linear abhängig? Und wenn b [mm] \in [/mm] X ist, so ist B' [mm] \cup [/mm] X [mm] \cup \{b\} [/mm] linear unabhängig. Also heißt diese "oder"-Beziehung eigentlich nur, dass B' [mm] \cup [/mm] X [mm] \cup \{b\} [/mm] linear unabhängig oder linear abhängig ist? Weiter gehts so:
"Angenommen b [mm] \not\in [/mm] X. Es folgt b [mm] \in Lin_{k}(B' \cup [/mm] X), d.h. [mm] V=Lin_{k} [/mm] B [mm] \subset Lin_{k}(B' \cup [/mm] X).Also ist B' [mm] \cup [/mm] X Basis von X."
Wieso folgt jetzt aus b [mm] \not\in [/mm] X, dass b [mm] \in Lin_{k}(B' \cup [/mm] X)?
Vielen Dank
lg
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Hallo,
> Seien V ein endlich erzeugter K-Vektorraum,
> [mm]X=\{x_{1},...,x_{n}\}[/mm] eine linear unabhängige Teilmenge
> von V, [mm]B=\{b_{1},...,b_{m}\}[/mm] eine Basis von V.Dann gibt es
> eine Teilmenge B' von B derart,dass B' [mm]\cap X=\emptyset[/mm] und
> X [mm]\cup[/mm] B' ist Basis von V.
> Hallo zusammen^^
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> Ich versuche den Beweis des Austauschsatzes von Steinitz zu
> verstehen, aber verstehs halt nicht ganz.
>
> Beweis:
>
> "Sei B' eine maximale Teilmenge von V, sodass B' [mm]\cap X=\emptyset[/mm]
> und B' [mm]\cup[/mm] X ist linear unabhängig.Wir zeigen:
> [mm]V=Lin_{k}\{B' \cup X\}.[/mm] (So eine Teilmenge B'
> existiert,weil [mm]\emptyset \subset[/mm] B, [mm]\emptyset \cap X=\emptyset, \emptyset \cup[/mm]
> X ist linear unabhängig.)"
>
> Bis hierhin hab ich alles verstanden,aber jetzt kommts:
>
> "Für Jedes b [mm]\in B\backslash\{B'\}[/mm] ist B' [mm]\cup[/mm] X [mm]\cup \{b\}[/mm] nicht linear unabhängig oder b [mm]\in[/mm] X."
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> Das versteh ich nicht.Wieso gilt hier diese "oder"-Beziehung?
> Ist B' [mm]\cup[/mm] X [mm]\cup \{b\}[/mm] deswegen linear abhängig,weil B'
> [mm]\cup[/mm] X linear unabhängig ist
Erster Fall: [mm] b\in [/mm] X. Dann ist klar, das System bleibt linear unabhängig, denn [mm] X\cup\{b\}=X [/mm] und nach Wahl von B' ist ja $B' [mm] \cup [/mm] X$ lin. unabhängig
Zweiter Fall: [mm] b\notin [/mm] X. Angenommen, das System [mm] B'\cup X\cup \{b\} [/mm] wäre nun lin. unabhängig. Dann wäre insbesondere das System [mm] B'\cup\{b\} [/mm] lin. unabhängig. Das geht aber nicht aufgrund der geforderten 'Maximal'-Eigenschaft von B'. [mm] B'':=B'\cup\{b\} [/mm] wäre dann nämlich ein System mit mehr Vektoren, das ebenfalls [mm] X\cap B''=\emptyset [/mm] und [mm] X\cup [/mm] B'' ist linear unabhängig erfüllt. Aus diesen Widerspruch folgert man, das System [mm] B'\cup X\cup \{b\} [/mm] ist in diesem Fall lin. abhängig.
> und wenn man zu einer linear
> unabhängigen Menge einen vektor hinzufügt, wird diese
> linear abhängig? Und wenn b [mm]\in[/mm] X ist, so ist B' [mm]\cup[/mm] X
> [mm]\cup \{b\}[/mm] linear unabhängig. Also heißt diese
> "oder"-Beziehung eigentlich nur, dass B' [mm]\cup[/mm] X [mm]\cup \{b\}[/mm]
> linear unabhängig oder linear abhängig ist? Weiter gehts
> so:
>
> "Angenommen b [mm]\not\in[/mm] X. Es folgt b [mm]\in Lin_{k}(B' \cup[/mm] X),
> d.h. [mm]V=Lin_{k}[/mm] B [mm]\subset Lin_{k}(B' \cup[/mm] X).Also ist B'
> [mm]\cup[/mm] X Basis von X."
>
> Wieso folgt jetzt aus b [mm]\not\in[/mm] X, dass b [mm]\in Lin_{k}(B' \cup[/mm] X)?
[mm] b\not\in [/mm] X bedeutet nun, dass b irgendein Vektor aus V ist, der nicht in [mm] X\cup [/mm] B' liegt (b wurde eingangs so gewählt, dass [mm] b\notin [/mm] B').
Indem der Vektor b dem System hinzugefügt wurde, gab es auf einmal eine lineare Abhängigkeit. D.h. der Vektor b lässt sich als Linearkombination der Vektoren in [mm] X\cup [/mm] B' darstellen. Daher ist er in der linearen Hülle.
>
> Vielen Dank
> lg
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 13.03.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti
vielen Dank, du hast das super erklärt. Ich habs verstanden =)
lg
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