Beweis Stetigkeit Umkehrabb. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Di 08.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | | Seien (K, [mm] d_1) [/mm] und [mm] (Y,d_2) [/mm] metrische Räume und sei K kompakt. Sei f: [mm] (K,d_1) \to (Y.d_2) [/mm] stetig und injektiv. Zeigen sie: [mm] f^{-1}: (f(K),d_2) \to [/mm] (K, [mm] d_1) [/mm] ist stetig |
Uns wurde als Tipp gesagt, dass wir mit einem Widerspruchsbeweis arbeiten sollen.
Also, dass [mm] f^{-1} [/mm] nicht stetig ist. So dass eine Folge [mm] Y_n= f(x_n) [/mm] existiert für welche [mm] Y_n [/mm] gegen y = f(x) konvergiert, aber [mm] X_n [/mm] nicht gegen X.
Hab da nun irgendwie keine Idee wie ich fortfahren soll.
Wir haben aber ja [mm] Y_n \in [/mm] f(K). Also [mm] \exists X_n: Y_n [/mm] = [mm] f(X_n).
[/mm]
Kann ich mit der Kompaktheit irgendwas anfangen?
Und muss ich zeigen, dass die Umkehrabbildung überhaupt existiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Di 08.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Uns wurde als Tipp gesagt, dass wir mit einem
> Widerspruchsbeweis arbeiten sollen.
Leichter ist: fa bildet abgeschlossene Menge auf abgeschlossene, dann ist man fertig (!!).
> Und muss ich zeigen, dass die Umkehrabbildung überhaupt
> existiert?
Da f injektiv ist, ist es bijektiv aufs Bild, fertig.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Di 08.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> > Uns wurde als Tipp gesagt, dass wir mit einem
> > Widerspruchsbeweis arbeiten sollen.
>
> Leichter ist: fa bildet abgeschlossene Menge auf
> abgeschlossene, dann ist man fertig (!!).
>
Also müsste ich nur zeigen, dass die beiden Mengen abgeschlossen sind und dann könnt ich Stetigkeit folgern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Uns wurde als Tipp gesagt, dass wir mit einem
> > > Widerspruchsbeweis arbeiten sollen.
> >
> > Leichter ist: fa bildet abgeschlossene Menge auf
> > abgeschlossene, dann ist man fertig (!!).
> >
> Also müsste ich nur zeigen, dass die beiden Mengen
> abgeschlossen sind und dann könnt ich Stetigkeit folgern?
welche beiden Mengen? Du hast (und um's mal ganz allgemein auszudrücken, schreibe ich anstatt [mm] $f(A)=\{f(a):a \in A\}$ [/mm] für $f: X [mm] \to [/mm] Y$ und $A [mm] \subseteq [/mm] X$ sowie $B [mm] \subseteq [/mm] Y$ nun [mm] $Bild_f(A)$ [/mm] und anstatt [mm] $f^{-1}(B)=\{s \in X: f(s) \in B\}$ [/mm] nun [mm] $Urbild_f(B)$) [/mm] wegen ![[]](/images/popup.gif) Satz 10.12 zu zeigen:
Für alle $A [mm] \subseteq K\,,$ $A\,$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $K\,,$ [/mm] ist [mm] $Urbild_{f^{-1}}(A)$ [/mm] abgeschlossen in [mm] $Bild_f(K)\,.$
[/mm]
Und naja: [mm] $Urbild_{f^{-1}}(A)$ [/mm] kann man noch anders ausdrücken. Abgeschlossene Teilmengen eines kompakten Raumes sind kompakt. Stetige Funktionen bilden kompakte Mengen auf kompakte Mengen ab - und kompakte Mengen sind abgeschlossen.
Das gilt alles jedenfalls bzgl. metrischer Räume - wie's allgemein aussieht (etwa, dass kompakte Mengen immer abgeschlossen sind - in einem Hausdorffraum scheint das noch zu gelten) müßte ich selbst nachgucken.
P.S.
Ich finde dennoch, dass Du den Widerspruchsbeweis auch mal durchführen solltest, weil da Standardargumente der Analysis ins Spiel kommen sollten!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Di 08.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> (etwa, dass kompakte Mengen immer
> abgeschlossen sind - in einem Hausdorffraum scheint das
> noch zu gelten)
Offenbar falsch in der trivialen (Klimpen-)Topologie.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (etwa, dass kompakte Mengen immer
> > abgeschlossen sind - in einem Hausdorffraum scheint das
> > noch zu gelten)
>
> Offenbar falsch in der trivialen (Klimpen-)Topologie.
was ist die Klimpentopologie (über google findet man ja tolle Sachen: http://matthias.benkard.de/journal/52 ^^ ).
Das ist dann aber kein Hausdorffraum?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:36 Mi 09.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> was ist die Klimpentopologie
Ich vermute mal, die Topologie, bezüglich der nur die leere Menge und der ganze Raum offen sind. Alle Teilmengen sind kompakt, aber (wenn der Raum aus mindestens zwei Punkten besteht) nicht alle abgeschlossen.
> Das ist dann aber kein Hausdorffraum?
Nein. Kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen sind in der Tat stets abgeschlossen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> > was ist die Klimpentopologie
> Ich vermute mal, die Topologie, bezüglich der nur die
> leere Menge und der ganze Raum offen sind. Alle Teilmengen
> sind kompakt, aber (wenn der Raum aus mindestens zwei
> Punkten besteht) nicht alle abgeschlossen.
okay - ich hab' gestern sowas wie Klumpentopologie gefunden - dann war das wohl doch nur ein Verschreiber. Wollte aber sichergehen, dass das nicht doch etwas ist, was ich nicht kenne ^^ (bei Homomorphismus und Homöomorphismus sollte man ja auch achtgeben).
> > Das ist dann aber kein Hausdorffraum?
> Nein. Kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen sind in der
> Tat stets abgeschlossen.
Danke - okay. Ich war nämlich ein wenig irritiert, weil diese Bemerkung in dem Zusammenhang kam...
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:42 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> P.S.
> Ich finde dennoch, dass Du den Widerspruchsbeweis auch mal
> durchführen solltest, weil da Standardargumente der
> Analysis ins Spiel kommen sollten!
>
> Gruß,
> Marcel
An dem Widerspruchsbeweis versuche ich mich gerade immer noch. Komm aber irgendwie nicht voran.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Sei A Teilmenge von [mm] (K,d_1). [/mm] Wenn A abgeschlossen ist, dann ist A (als Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes) selbst kompakt. Das Bild f(A) ist ebenfalls kompakt, da f stetig ist. Deshalb auch abgeschlossen, denn der Raum ist metrisch.
Also bildet f abgeschlossene Mengen wiederum in abgeschlossen Mengen ab.Weil f bijektiv ist bezüglich des Bildes, ist das Urbild bezüglich [mm] f^{-1} [/mm] jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen. Aus der Äquivalenz zur Stetigkeit folgt dann, dass [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist.
Wär das nun richtig für die Variante ohne Widerspruchsbeweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei A Teilmenge von [mm](K,d_1).[/mm] Wenn A abgeschlossen ist, dann
> ist A (als Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes)
> selbst kompakt. Das Bild f(A) ist ebenfalls kompakt, da f
> stetig ist. Deshalb auch abgeschlossen, denn der Raum ist
> metrisch.
>
> Also bildet f abgeschlossene Mengen wiederum in
> abgeschlossen Mengen ab.Weil f bijektiv ist bezüglich des
> Bildes, ist das Urbild bezüglich [mm]f^{-1}[/mm] jeder
> abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen. Aus der
> Äquivalenz zur Stetigkeit folgt dann, dass [mm]f^{-1}[/mm] stetig
> ist.
>
> Wär das nun richtig für die Variante ohne
> Widerspruchsbeweis?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mi 09.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > P.S.
> > Ich finde dennoch, dass Du den Widerspruchsbeweis auch
> mal
> > durchführen solltest, weil da Standardargumente der
> > Analysis ins Spiel kommen sollten!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> An dem Widerspruchsbeweis versuche ich mich gerade immer
> noch. Komm aber irgendwie nicht voran.
der Anfang steht doch schon in der Aufgabe. Wie weit bist Du denn mit Deinen Überlegungen bis dato gekommen - also: Was hast Du Dir nun selbst alles dazu überlegt?
Gruß,
Marcel
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