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Hallo Leute,
ich sitze an einer Stelle im Beweis, an der ich nicht weiterkomme. Ich habe folgende drei Axiome der Wahrscheinlichkeit:
fett zu druckender Text Axiom 1: zu jedem zufälligen Ereignis A ist in eindeutiger Weise eine Zahl P(A), die sogenannte Wahrscheinlichkeit von A, zugeordnet, wobei 0 [mm] \le [/mm] P(A) [mm] \le [/mm] 1 gilt.
fett zu druckender Text Axiom 2:Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist gleich Eins. P(Omega)=1
fett zu druckender Text Axiom 3: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei unvereinbaren zufälligen Ereignissen (A,B) des betrachteten Ereignisfeldes eines eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. P(A [mm] \cup [/mm] B) wenn A [mm] \cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm]
Nun gibt es eine Folgerung des dritten Axioms, das ich beweisen muss.
Die Folgerung lautet: fett zu druckender Text Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von n ( [mm] \ge [/mm] 2) paarweise unvereinbaren zufälligen Ereignissen eines eintritt, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.
Ich möchte also zeigen, dass P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i)= \summe_{i=1}^{n}P(A_i) [/mm] ist.
Ich habe einen Induktionsbeweis gemacht.
Induktionsanfang: n=2. Nach Axiom 3 gilt die Formel für n=2
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
Induktionsvoraussetzung: Es wird angenommen, dass P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i)= \summe_{i=1}^{n}P(A_i) [/mm] gilt.
Zu zeigen ist nun, dass daraus P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n+1}A_i)= \summe_{i=1}^{n+1}P(A_i) [/mm] folgt.
Mein Weg:
P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n+1}A_i)=P(( \bigcup_{i=1}^{n}A_i) \cup A_{n+1} [/mm]
rot zu druckender Text =P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i))+P( A_{n+1})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_i) [/mm] + [mm] P(A_{n+1})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n+1} P(A_i)
[/mm]
fett zu druckender Text Frage:Mein Prof meint aber, dass ich den zweiten Schritt (das rotgedruckte) nicht einfach annehmen kann. Der Schritt wäre nur dann richtig, wenn ( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i) \cap A_{n+1}=\emptyset [/mm] wäre.
Wie kann ich also den Beweis richtig schreiben?
kann mir einer den fehlenden Schritt nennen, so dass der Beweis richtig wird?
Wäre mir ne grosse Hilfe!
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Do 17.02.2005 | | Autor: | emil108 |
Hallo tinamol,
dein Prof hat besitimmt recht, aber vielleicht kann man es ihm so recht machen:
P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n} A_i) [/mm] = P( [mm] \bigcup_{i=1}^{n}(A_i \backslash \bigcup_{j=1}^{i-1}A_j))
[/mm]
Überzeuge dich, dass hier wirklich Gleichheit gilt, vielleicht muss man noch [mm] A_0 [/mm] als [mm] A_0= \emptyset [/mm] definieren.
Jetzt hast du die Ereignisse so zerlegt, dass du deinen Induktionsbeweis machen kannst, und es ergibt sich:
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] P( [mm] A_i \backslash \bigcup_{j=1}^{i-1}A_j))
[/mm]
Durch Induktion(*) kann man wieder Zeigen, dass
[mm] \cdots [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} P(A_i)
[/mm]
(*): Betrachte [mm] A_2 \backslash A_1 [/mm] = [mm] A_2 [/mm] , wg. der Unabhängikeit in der Vorraussetzung und [mm] A_3\backslash (A_1 \cup A_2) [/mm] = [mm] A_3\backslash A_1 \cap A_3 \backslash A_1
[/mm]
Ich hoffe du kennst dich aus,
gruß Emil
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Danke dir!
aber ich habe nachwievor noch eine frage. Wieso kann ich den Beweis nicht auf meine art und weise machen? Schliesslich wurde doch "paarweise Unvereinbarkeit" vorausgesetzt. Daher dürften meine Schritte im Beweis doch zulässig sein, oder?
Freue mich über Antwort!
Gruß,
tinamol
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo tinamol21!
Wie hab ihr denn definiert, dass zwei Ereignisse paarweise unvereinbar sind?
Wenn ist es im Sinne von
$A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$
[/mm]
definiert habt, ist dein Beweis richtig, denn es gilt dann ja:
[mm] $\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \cap A_{n+1} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{n} (A_i \cap A_{n+1}) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
In diesem Fall würde ich den Einwand des Profs nicht verstehen... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Mo 21.02.2005 | | Autor: | tinamol21 |
Danke Julius,
ich werde morgen zu meinem prof gehen und ihn mal fragen, ob mein beweis nicht doch richtig ist. bin mir da eigentlich mittlerweile ziemlich sicher :)
Gruß,
Tinamol
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