Beweis Strahlensätze < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sandycgn |
| Aufgabe | Zugrunde gelegt sei der affine Standardraum RxR.
Formulieren Sie die beiden Strahlensätze (Schulmathematik), beachten Sie dabei, dass ein Längenbegriff hier (noch) nicht zur Verfügung steht. Beweisen Sie dann beide Sätze. |
Hallo!
Die Formulierung der STrahlensätze ist klar: Mittels Teilverhältnissen.
Aber wie um alles in der Welt beweise ich die Sätze dann? Ich bin seit Tagen am Grübeln, komme aber auf keinen grünen Zweig. Morgen muss ich das Übungsblatt abgeben.
Ich hoffe, dass mir viele Leute hier helfen können! Vielen lieben Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandycgn!
Wenn du nicht angibst, was ihr fuer Ergebnisse/Definitionen hattet kann dir wohl niemand helfen. (Es sei denn derjenige kann hellsehen...)
Und nochwas: Wenn ihr keine Laengen hattet, wieso kannst du dann mit Teilverhaeltnissen arbeiten? Hattet ihr schon sowas wie `relative Laengenvergleiche'?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sandycgn |
Wir hatten nur den Begriff des Teilverhältnisses eingeführt:
P,Q,R seien kollineare Punkte. Dann nennt man lambda Teilverhältnis: TV(P,Q,R): Vector(PQ)=lambda*Vector(PR)
Ansonsten haben wir die üblichen Definitionen in der Analytischen Geometrie (Vektoraddition ertc.).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zugrunde gelegt sei der affine Standardraum RxR.
> Formulieren Sie die beiden Strahlensätze
> (Schulmathematik), beachten Sie dabei, dass ein
> Längenbegriff hier (noch) nicht zur Verfügung steht.
> Beweisen Sie dann beide Sätze.
> Hallo!
>
> Die Formulierung der STrahlensätze ist klar: Mittels
> Teilverhältnissen.
>
> Aber wie um alles in der Welt beweise ich die Sätze dann?
> Ich bin seit Tagen am Grübeln, komme aber auf keinen grünen
> Zweig. Morgen muss ich das Übungsblatt abgeben.
>
> Ich hoffe, dass mir viele Leute hier helfen können! Vielen
> lieben Dank!
Erstmal eine Skizze (ich nummeriere die Punkte einfach mal mit Grossbuchstaben durch):
| 1: |
| | 2: | | |/
| | 3: | | E
| | 4: | | /|
| | 5: | |/ |
| | 6: | D |
| | 7: | /| |
| | 8: | / | |
| | 9: | / | |
| | 10: | / | |
| | 11: | A----B--C--
| | 12: | | |
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Die fuenf Punkte $A, B, C, D, E$ seine paarweise verschieden, die Geraden [mm] $\overline{B D}$, $\overline{C E}$ [/mm] seinen parallel und $D, E$ liegen nicht auf [mm] $\overline{A B} [/mm] = [mm] \overline{A C}$ [/mm] und $B, C$ liegen nicht auf [mm] $\overline{A D} [/mm] = [mm] \overline{A E}$.
[/mm]
Ich mache jetzt folgende Bezeichnungen: [mm] $\vec [/mm] a = [mm] \vec{AB}$, $\vec [/mm] b = [mm] \vec{AC}$, $\vec [/mm] v = [mm] \vec{BD}$, $\vec [/mm] v = [mm] \vec{CE}$. [/mm]
Da $B$ nicht auf [mm] $\overline{A D}$ [/mm] liegt, sind [mm] $\vec [/mm] a$ und [mm] $\vec [/mm] v$ linear unabhaengig.
Da $A, B, C$ auf einer Gerade liegt gibt es ein [mm] $\hat{\lambda} \in \IR$, $\hat{\lambda} \neq [/mm] 0$ mit [mm] $\hat{\lambda} \vec [/mm] a = [mm] \vec [/mm] b$.
Und da [mm] $\overline{B D}$ [/mm] und [mm] $\overline{C E}$ [/mm] parallel sind gibt es ein [mm] $\lambda \in \IR$, $\lambda \neq [/mm] 0$ mit [mm] $\lambda \vec [/mm] v = [mm] \vec [/mm] w$.
Da weiterhin $A, D, E$ auf einer Gerade liegen, und [mm] $\vec{A D} [/mm] = [mm] \vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] v$ und [mm] $\vec{A E} [/mm] = [mm] \vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] w$ ist, gibt es ein [mm] $\mu \in \IR$, $\mu \neq [/mm] 0$ mit [mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] v = [mm] \mu (\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] w)$.
Also ist [mm] $\vec [/mm] a + [mm] \vec [/mm] v = [mm] \mu (\vec [/mm] b + [mm] \vec [/mm] w) = [mm] \mu (\hat{\lambda} \vec [/mm] a + [mm] \lambda \vec [/mm] v)$, womit $(1 - [mm] \mu \hat{\lambda}) \vec [/mm] a + (1 - [mm] \mu \lambda) \vec [/mm] v = 0$ ist.
Kommst du jetzt alleine weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sandycgn |
Vielen Dank! Ich habe mir das gut angeschaut und auch nachvollzogen. Ich habe den Beweis jetzt fertig gestellt. Mal sehen, ob das so richtig ist..
Vielen lieben Dank nochmals!
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