Beweis Summenformel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 29.10.2006 | | Autor: | feku |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Summenformel direkt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}x^{i} [/mm] = [mm] \begin{cases} n+1, & \mbox{für } x \mbox{ =1} \\ \bruch{1-x^{n+1}}{1-x}, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 1} \end{cases} [/mm] |
Wie kann man eine solche Formel direkt, d.h. ohne vollständige Induktion beweisen? Ich hab schon alles mögliche versucht, jedoch ohne Erfolg. Gibt es so etwas wie eine grundsätzliche Vorgehensweise um Summenformeln zu beweisen? Denn ich habe noch mehrere Aufgaben dieser Art und komme einfach nicht weiter!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 So 29.10.2006 | | Autor: | feku |
Außerdem gilt noch n [mm] \in \IN [/mm] !
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 29.10.2006 | | Autor: | Fabian |
Hallo feku
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Beweis ist ganz einfach!
[mm] s=1+q+........+q^{n} [/mm]
q*s= [mm] q+........+q^{n}+q^{n+1} [/mm] ( hier habe ich einfach beide Seiten mit q multipliziert )
Jetzt mußt du nur noch die zweite Zeile von der ersten Zeile subtrahieren und siehe da, du wirst die Summenformel für die Geometrische Reihe erhalten!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 29.10.2006 | | Autor: | feku |
Vielen Dank!!! Ist ja wirklich einfach und logisch, aber irgendwie hatte ich da einen "Hänger" und bin nicht drauf gekommen. Nochmals Danke für die schnelle Hilfe!
|
|
|
|
