Beweis Summenformel < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] |
I.V.) n = 1
[mm] \summe_{k=1}^{2*1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2^+^1}{1} [/mm] =1+(-1) = 0
I.S.) n [mm] \mapsto [/mm] (n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{2(n+1)} \bruch{(-1)^n^+^1^+^1}{n+1} [/mm] + [mm] \underbrace{\bruch{(-1)^k^+^1}{k}}_{=0 (I.V.)} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n^+^2}{(n+1)}
[/mm]
Also wenn ich mich bis hierher nicht komplett vertan habe, weiß ich nicht mehr weiter.....moment.....
Die Potenz im Zähler ist n+2. D.h. doch, dass das eigentlich auch k + 1 ist. Dann ist n +1 im Nenner noch k und damit bin ich bei der Ausgangsaussage..... Damit hab ich aber nicht
[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] (n [mm] \in \IN)
[/mm]
bewiesen. Kann mir da einer schnell helfen?
Dann hab ich noch eine Frage.
K ist doch die erste Zahl bei der ich anfange zu "zählen", nicht?
Viele Grüße
SM
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 22.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Zeigen Sie:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm] (n [mm]\in \IN)[/mm]
> I.V.) n = 1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2*1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-1)^2^+^1}{1}[/mm] =1+(-1) = 0
kleiner Fehler, es muss [mm] \summe_{k=1}^{2*1}\bruch{(-1)^1^+^1}{1}+\bruch{(-1)^2^+^1}{\red{2}}=... [/mm] heißen.
Die weiteren Tricks an der Aufgabe sind zum einen das 2n zu eliminieren, das kann mit dem Summanden [mm] \bruch{(-1)^{k+1}}{k} [/mm] verwurschtelt werden und dann eine Indexverschiebung vorzunehmen.
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{1}{k}
[/mm]
I.V.) n = 1
[mm] \summe_{k=1}^{2\cdot{}1} \bruch{(-1)^1^+^1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2^+^1}{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2\cdot{}1} [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Und jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Do 22.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Semimathematiker,
ich stimme Doing zu. Die zu zeigende Gleichung ist falsch. Probiers mal für ein paar (kleine) n aus. Dann bist Du fertig und hast sie widerlegt. Ein Gegenbeispiel reicht ja.
Anders gesagt: stimmt die Aufgabenstellung?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 22.10.2009 | | Autor: | Herby |
Moin,
> Hallo Semimathematiker,
>
> ich stimme Doing zu. Die zu zeigende Gleichung ist falsch.
> Probiers mal für ein paar (kleine) n aus. Dann bist Du
> fertig und hast sie widerlegt. Ein Gegenbeispiel reicht
> ja.
ja, stimmt - die Gleichung in dieser Art stimmt nicht.
> Anders gesagt: stimmt die Aufgabenstellung?
Das wäre hier die Frage der Stunde 
Lg
Herby
> Grüße
> reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Do 22.10.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Wenn du für die Gleichung einen Beweis findest, ess ich einen Besen mit Stil.
Liebe Grüße,
Doing
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:04 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Doing,
du hast natürlich recht - das sieht ja sogar ein Blinder! Ich hatte vorhin nur auf die linke Seite geschaut und die rechte gar nicht beachtet, sorry.
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{[red] n+1 [/red]}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] |
Sorry.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Zeigen Sie:
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2n} \bruch{(-1)^k^+^1}{k}[/mm] = [mm]\summe_{n+1}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
> Sorry.
Das ist dann ja die Reihe, die ich vorhin genannt hatte - also los und ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
Sorry, aber das hilft mir nicht weiter. Ich bin doch nicht Chuck Norris und kann alle n [mm] \in \IN [/mm] einsetzen und summieren. Wenn ich jetzt erst noch die Indexverschiebung lernen muss, schaff ich das nie bis Dienstag. Das muss doch mit nem einfachen Induktionsschritt n [mm] \mapsto [/mm] (n+1) regelbar sein....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Fr 23.10.2009 | | Autor: | reverend |
Doch doch, Indexverschiebung schaffst Du locker bis Dienstag zu lernen.
Ansonsten siehe meine Antwort unten.
lg
rev
|
|
|
| |
|
Hallo Semimathematiker,
das sieht schon viel besser aus.
Herbys Summandenschubserei geht eigentlich ganz einfach:
[mm] \bruch{1}{1}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n}=\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{3}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}\right)-\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{n}\right)=
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{1}{1}+\blue{\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{3}\ \text{...}\ +\bruch{1}{2n-1}+\blue{\bruch{1}{2n}}\right)-\bruch{\blue{2}}{2}\left(\bruch{1}{1}+\bruch{1}{2}+\ \text{...}\ +\bruch{1}{n}\right)=\ \text{...}
[/mm]
Na, siehst Du's? Blau markiert ist eine "nahrhafte Null", die ich mal hinzugefügt habe. Jetzt noch zusammenfassen und fertig. Ach ja, und natürlich in Summenschreibweise übersetzen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Fr 23.10.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Semimathematiker,
Induktion geht natürlich auch. Im Übergang von n zu n+1 kommen links und rechts die folgenden Glieder hinzu:
[mm] +\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+2}=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{2n+2}
[/mm]
umgeformt:
[mm] -\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1}=-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n+1}
[/mm]
...
Welcher Weg weniger Schreibarbeit ist, ist kaum zu sagen. In Summenschreibweise geht mein anderer Weg m.E. genauso schnell.
So, jetzt hast Du aber genügend Auswahl.
Grüße
reverend
|
|
|
|
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
- ich weiß aber auch nicht, ob die Gleichung stimmt, da ich es noch nicht ausprobiert habe - vielleicht hat er ja recht.
![[snoopysleep]](/images/smileys/snoopysleep.gif "[snoopysleep]"){kind=small}
