Beweis Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Do 30.10.2008 | | Autor: | chriz123 |
| Aufgabe | [mm](f_i)_i_\in_I[/mm] sei eine Familie von Abbildungen [mm] f_i : M_i \rightarrow N_i[/mm]. Beweisen Sie, dass das kartesische
Produkt
[mm] \produkt_{i\in I} f_i : \produkt_{i\in I} M_i \rightarrow \produkt_{i\in I} N_i, \quad (x_i)_i_\in_I \rightarrow (f_i(x_i))_i_\in_I[/mm]
dieser Abbildungen surjektiv ist, falls alle Abbildungen [mm] f_i[/mm] surjektiv sind.
Gilt die Umkehrung? |
Also das Kartesische Produkt besteht aus allen
Paaren (x, y), wobei das erste Element aus der Menge A und das zweite
Element aus der Menge B stammt.
Da die Surjektivität besagt, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird, ist es ja klar, dass es wenn alle Abbildungen surjektiv sind auch das kartesische Produkt dieser Abbildungen surjektiv ist.
Oder?
Mein Problem ist, dass mir der Ansatz fehlt das ganze formal zu Beweisen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](f_i)_i_\in_I[/mm] sei eine Familie von Abbildungen [mm]f_i : M_i \rightarrow N_i[/mm].
> Beweisen Sie, dass das kartesische
> Produkt
> [mm]\produkt_{i\in I} f_i : \produkt_{i\in I} M_i \rightarrow \produkt_{i\in I} N_i, \quad (x_i)_i_\in_I \rightarrow (f_i(x_i))_i_\in_I[/mm]
>
> dieser Abbildungen surjektiv ist, falls alle Abbildungen
> [mm]f_i[/mm] surjektiv sind.
> Gilt die Umkehrung?
> Also das Kartesische Produkt besteht aus allen
> Paaren (x, y), wobei das erste Element aus der Menge A und
> das zweite
> Element aus der Menge B stammt.
> Da die Surjektivität besagt, dass jedes Element der
> Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen
> wird, ist es ja klar, dass es wenn alle Abbildungen
> surjektiv sind auch das kartesische Produkt dieser
> Abbildungen surjektiv ist.
> Oder?
>
> Mein Problem ist, dass mir der Ansatz fehlt das ganze
> formal zu Beweisen.
naja, Du musst so starten: Für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ sei [mm] $f_i: M_i \to N_i$ [/mm] surjektiv. Zu zeigen ist, dass dann auch $ [mm] \produkt_{i\in I} f_i [/mm] : [mm] \produkt_{i\in I} M_i \rightarrow \produkt_{i\in I} N_i, \quad (x_i)_i_\in_I \rightarrow (f_i(x_i))_i_\in_I [/mm] $ surjektiv ist.
Der Abkürzung wegen schreiben wir vielleicht zunächst einmal [mm] $F:=\produkt_{i\in I} f_i$, $M:=\produkt_{i\in I} M_i$ [/mm] und [mm] $N:=\produkt_{i\in I} N_i\,.$
[/mm]
Es ist also zu zeigen, dass $F: M [mm] \to [/mm] N$ surjektiv ist, also behauptet wird nun: Für ein jedes $n [mm] \in [/mm] N$ existiert (mindestens) ein $m [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $F(m)=n\,.$
[/mm]
Dazu sei nun $n [mm] \in [/mm] N$ beliebig, aber fest. Wegen $n [mm] \in N=\produkt_{i\in I} N_i$ [/mm] läßt sich dann [mm] $\black{n}$ [/mm] schreiben als [mm] $\black{n}=(...)_{i \in I}\,.$, [/mm] wobei für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ dann [mm] $n_i \in ...$\,. [/mm] Weil $...$ surjektiv ist, gibt es für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ zu [mm] $n_i \in [/mm] ...$ (mindestens) ein $... [mm] \in M_i$ [/mm] mit [mm] $f_i(...)=...$; [/mm] für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ wählen wir genau ein solches und nennen das [mm] $m_i$. [/mm] Nun definieren wir [mm] $m:=(...)_{i \in I}$. [/mm] Dann ist $m [mm] \in [/mm] M$ und wir zeigen noch $f(m)=n$:
.
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.
So, ich habe Dir nun quasi die Beweisstruktur vorgegeben. Versuche mal, die Lücken auszufüllen.
Und wie sieht es nun bei der Frage, ob der Satz umkehrbar ist, aus?
(Kurz: Wenn $F: M [mm] \to [/mm] N$ surjektiv ist, ist dann auch für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ die Abbildung [mm] $f_i: M_i \to N_i$ [/mm] surjektiv?)
P.S.:
Ich behaupte mal, die Umkehrung wird richtig, wenn (für eine nichtleere Indexmenge [mm] $\black{I}$) [/mm] alle auftretenden Mengen [mm] $N_i$ [/mm] nichtleer sind. Denn:
Sei [mm] $i_0 \in [/mm] I$ beliebig, aber fest.
Sei [mm] $n_{i_0} \in N_{i_0}\,.$ [/mm] Betrachte die Menge [mm] $$T:=\{n_{i_0}\} \times \produkt_{i \in I \setminus\{i_0\}}N_i\,.$$ [/mm]
Nach dem ![[]](/images/popup.gif) Auswahlaxiom ist dann $T [mm] \not= \emptyset\,.$ [/mm] Also existiert ein...
P.P.S.:
Was würde es denn bedeuten, wenn auch nur für ein $j [mm] \in [/mm] I$ die Menge [mm] $N_j=\emptyset$ [/mm] wäre?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Fr 31.10.2008 | | Autor: | chriz123 |
> Es ist also zu zeigen, dass [mm]F: M \to N[/mm] surjektiv ist, also
> behauptet wird nun: Für ein jedes [mm]n \in N[/mm] existiert
> (mindestens) ein [mm]m \in M[/mm] mit [mm]F(m)=n\,.[/mm]
>
> Dazu sei nun [mm]n \in N[/mm] beliebig, aber fest. Wegen [mm]n \in N=\produkt_{i\in I} N_i[/mm]
> läßt sich dann [mm]\black{n}[/mm] schreiben als [mm]\black{n}=(N_i)_{i \in I}\,.[/mm],
> wobei für jedes [mm]i \in I[/mm] dann [mm]n_i \in N_i[/mm][mm] \,.[/mm] Weil [mm]f_i[/mm]
> surjektiv ist, gibt es für jedes [mm]i \in I[/mm] zu [mm]n_i \in N_i[/mm]
> (mindestens) ein [mm]m \in M_i[/mm] mit [mm]f_i(m)=n[/mm]; für jedes [mm]i \in I[/mm]
> wählen wir genau ein solches und nennen das [mm]m_i[/mm]. Nun
> definieren wir [mm]m:=(M_i)_{i \in I}[/mm]. Dann ist [mm]m \in M[/mm] und wir
> zeigen noch [mm]f(m)=n[/mm]:
Da alle Abbildungen [mm]f_i[/mm] surjektiv sind gilt für alle [mm]i\in I[/mm]: [mm]f_i(m_i)=n_i[/mm].
??? (Da hab ichs mir doch bestimmt zu einfach gemacht oder?)
> So, ich habe Dir nun quasi die Beweisstruktur vorgegeben.
> Versuche mal, die Lücken auszufüllen.
Habe versucht alles auszufüllen, wäre aber gut wenn da noch einer drüberguckt und mir meine Fehler sagt, da ich mir nicht sicher bin!
> Und wie sieht es nun bei der Frage, ob der Satz umkehrbar
> ist, aus?
> (Kurz: Wenn [mm]F: M \to N[/mm] surjektiv ist, ist dann auch für
> jedes [mm]i \in I[/mm] die Abbildung [mm]f_i: M_i \to N_i[/mm] surjektiv?)
>
> P.S.:
> Ich behaupte mal, die Umkehrung wird richtig, wenn (für
> eine nichtleere Indexmenge [mm]\black{I}[/mm]) alle auftretenden
> Mengen [mm]N_i[/mm] nichtleer sind. Denn:
> Sei [mm]i_0 \in I[/mm] beliebig, aber fest.
> Sei [mm]$n_{i_0} \in N_{i_0}\,.$[/mm] Betrachte die Menge
> [mm]T:=\{n_{i_0}\} \times \produkt_{i \in I \setminus\{i_0\}}N_i\,.[/mm]
> Nach dem
> Auswahlaxiom
> ist dann [mm]T \not= \emptyset\,.[/mm] Also existiert ein...
[mm]i \in I[/mm] mit [mm]f_i(m_i)= n_i[/mm]
????
Das hab ich nich richtig verstanden...
Also M und N dürfen nicht leer sein, aber das reicht wohl nicht um den Satz zu beweisen oder?
Muss ich jetzt wie oben den Beweis einfach in die andere Richtung führen?
> P.P.S.:
> Was würde es denn bedeuten, wenn auch nur für ein [mm]j \in I[/mm]
> die Menge [mm]N_j=\emptyset[/mm] wäre?
Daduch wäre auch daskartesische Produkt leer und damit nicht surjektiv.
Die Umkehrung würde so also nicht gelten.
Vielen Dank erstmal für die schnelle und ausführliche Antwort!
Wäre super wenn ihr mir auch noch weiter helft... Bin mir noch sehr unsicher...
mfg chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Fr 31.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Es ist also zu zeigen, dass [mm]F: M \to N[/mm] surjektiv ist, also
> > behauptet wird nun: Für ein jedes [mm]n \in N[/mm] existiert
> > (mindestens) ein [mm]m \in M[/mm] mit [mm]F(m)=n\,.[/mm]
> >
> > Dazu sei nun [mm]n \in N[/mm] beliebig, aber fest. Wegen [mm]n \in N=\produkt_{i\in I} N_i[/mm]
> > läßt sich dann [mm]\black{n}[/mm] schreiben als [mm]\black{n}=(N_i)_{i \in I}\,.[/mm],
uh, das ist schlecht. Die [mm] $N_i$ [/mm] sind ja schon Mengen. Aber ich hoffe, Du meinst es so: Für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ existiert ein [mm] $n_i \in N_i$, [/mm] so dass man [mm] $n=(n_i)_{i \in I}$ [/mm] schreiben kann.
> > wobei für jedes [mm]i \in I[/mm] dann [mm]n_i \in N_i[/mm][mm] \,.[/mm] Weil [mm]f_i[/mm]
> > surjektiv ist, gibt es für jedes [mm]i \in I[/mm] zu [mm]n_i \in N_i[/mm]
> > (mindestens) ein [mm]m \in M_i[/mm] mit [mm]f_i(m)=n[/mm];
Nein. Für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ existiert zu [mm] $n_i \in N_i$ [/mm] ein [mm] $m_i \in M_i$ [/mm] mit [mm] $f_i(m_i)=n_i\,.$
[/mm]
> für jedes [mm]i \in I[/mm]
> > wählen wir genau ein solches und nennen das [mm]m_i[/mm]. Nun
> > definieren wir [mm]m:=(M_i)_{i \in I}[/mm].
Auch hier wieder das gleiche Problem wie oben. Ich hoffe, Du meintest eigentlich [mm] $m:=(m_i)_{i \in I}\,.$...
[/mm]
> Dann ist [mm]m \in M[/mm] und wir
> > zeigen noch [mm]f(m)=n[/mm]:
>
> Da alle Abbildungen [mm]f_i[/mm] surjektiv sind gilt für alle [mm]i\in I[/mm]:
> [mm]f_i(m_i)=n_i[/mm].
Das ist schon okay. Nur das Argument ist fehl am Platz bzw. es ist schlecht formuliert:
Wir hatten mithilfe der Surjektivität die [mm] $m_i \in M_i$ [/mm] so wählen können, dass [mm] $f_i(m_i)=n_i$ [/mm] für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ gegolten hat (weil [mm] $f_i$ [/mm] für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ surjektiv ist nach Voraussetzung). Wenn Du das auch so meintest, dann ist das okay. Nur schreibst Du das irgendwie komisch, in etwa so:
"Weil alle [mm] $f_i$ [/mm] surjektiv sind, gilt [mm] $f(m_i)=n_i$..."
[/mm]
Da erkennt man nicht wirklich, dass Du auch das meinst, was ich oben sagte...
Du musst es nur vernünftiger aufschreiben, damit man auch wirklich sieht, warum das $F(m)=n$ liefert:
Es gilt
[mm] $$F(m)=F((m_i)_{i \in I})=(f_i(n_i))_{i \in I}\underset{\text{ da }f_i(m_i)=n_i\text{ für alle }i \in I}{=}(n_i)_{i \in I}=n\,.$$
[/mm]
> ??? (Da hab ichs mir doch bestimmt zu einfach gemacht
> oder?)
>
> > So, ich habe Dir nun quasi die Beweisstruktur vorgegeben.
> > Versuche mal, die Lücken auszufüllen.
>
> Habe versucht alles auszufüllen, wäre aber gut wenn da noch
> einer drüberguckt und mir meine Fehler sagt, da ich mir
> nicht sicher bin!
>
> > Und wie sieht es nun bei der Frage, ob der Satz umkehrbar
> > ist, aus?
> > (Kurz: Wenn [mm]F: M \to N[/mm] surjektiv ist, ist dann auch für
> > jedes [mm]i \in I[/mm] die Abbildung [mm]f_i: M_i \to N_i[/mm] surjektiv?)
> >
> > P.S.:
> > Ich behaupte mal, die Umkehrung wird richtig, wenn (für
> > eine nichtleere Indexmenge [mm]\black{I}[/mm]) alle auftretenden
> > Mengen [mm]N_i[/mm] nichtleer sind. Denn:
> > Sei [mm]i_0 \in I[/mm] beliebig, aber fest.
> > Sei [mm]$n_{i_0} \in N_{i_0}\,.$[/mm] Betrachte die Menge
> > [mm]T:=\{n_{i_0}\} \times \produkt_{i \in I \setminus\{i_0\}}N_i\,.[/mm]
> > Nach dem
> >
> Auswahlaxiom
> > ist dann [mm]T \not= \emptyset\,.[/mm] Also existiert ein...
>
> [mm]i \in I[/mm] mit [mm]f_i(m_i)= n_i[/mm]
>
> ????
> Das hab ich nich richtig verstanden...
> Also M und N dürfen nicht leer sein, aber das reicht wohl
> nicht um den Satz zu beweisen oder?
> Muss ich jetzt wie oben den Beweis einfach in die andere
> Richtung führen?
>
> > P.P.S.:
> > Was würde es denn bedeuten, wenn auch nur für ein [mm]j \in I[/mm]
> > die Menge [mm]N_j=\emptyset[/mm] wäre?
>
> Daduch wäre auch daskartesische Produkt leer und damit
> nicht surjektiv.
> Die Umkehrung würde so also nicht gelten.
Genau, weil man dann eine der anderen Abbildungen so angeben kann, dass diese nicht surjektiv ist.
Bei dem Hinweis mit dem Auswahlaxiom wollte ich nur darauf hinaus, dass der Satz umkehrbar ist, falls alle [mm] $N_i$ [/mm] nicht leer sind (sofern das Auswahlaxiom benutzt werden kann). Ich habe versucht, anzudeuten, wieso das Auswahlaxiom dabei eine Rolle spielt. Es ist aber auch nicht so schlimm, wenn Dir das nicht klar ist, es kann durchaus sein, dass Ihr das Auswahlaxiom noch nicht benutzt habt. Und das war auch eher ein Zusatz meinerseits. Die Frage, ob der Satz umkehrbar ist oder nicht, hast Du ja beantwortet.
P.S.:
Wenn $j$ so ist, dass [mm] $N_{j}$ [/mm] leer ist, dann ist [mm] $f_{j}: \emptyset \to \emptyset$. [/mm] Ist nun [mm] $i_1 \in [/mm] I$ so, dass [mm] $f_{i_1}$ [/mm] nicht surjektiv ist, so ist aber nichtsdestotrotz $F: [mm] \emptyset \to \emptyset$ [/mm] surjektiv. So in etwa sollte das formal aussehen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Sa 01.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
Vielen Dank, hast mir sehr geholfen!
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