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Forum "Uni-Sonstiges" - Beweis Surjektivität/Injektivi
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Beweis Surjektivität/Injektivi: Beweisführung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 So 10.01.2010
Autor: Study1988

Aufgabe
Es sei eine Abbildung f definiert durch:

f: [mm] \IR \rightarrow \left[ 1;-1 \right] [/mm]

x [mm] \rightarrow \bruch{x}{1+ \left| x \right|} [/mm]

Beweisen Sie, dass f bijektiv ist.

Hallo,
ich studiere Mathematik auf Lehramt -.- und schreibe in vier Wochen eine Klausur in fachwissenschaftliche Grundlagen. Glücklicherweise wurde der Rest für Förderschule/Grundschule vereinfacht, so dass ich jetzt wohl nur noch diese Klausur bestehen muss und dann die höhere Mathematik hinter mir hab. Das ist der pure Horror.
Mir ist prinzipiell vollkommen klar, wie ich beweise, dass eine Funktion bijektiv ist, sprich die Injektivität und die Surjektivität beweise. Aber ich komme mit den Betragsstrichen absolut nicht klar.
Muss ich da eine Fallunterscheidung machen?
-.- Wäre lieb, wenn ihr mir schnellst möglich helfen könntet.
Wenn hier jemand ist, der davon viel Ahnung hat, und evt. auch ICQ hat, dann wäre ich auch absolut dankbar, wenn man vielleicht ICQNummern tauschen könnte. Ich hoffe, dass ich diese blöde Klausur irgendwie packe und wenn es ne 4,0 wird, ist es auch egal.

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Surjektivität/Injektivi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 10.01.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Hi,

Mit der Fallunterscheidung liegst du richtig! Es gibt insgesamt vier Fälle:

1) [mm] $x\ge 0\wedge y\ge [/mm] 0$

2) [mm] $x<0\wedge [/mm] y<0$

3) [mm] $x\ge 0\wedge [/mm] y<0$

4) [mm] $x<0\wedge y\ge [/mm] 0$

Nun für jeden Fall Injektivität überprüfen:

Seien [mm] $x,y\in\IR$: [/mm]

[mm] $\frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}\gdw [/mm] x+x|y|=y+y|x|$

1) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$

2) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$

3) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$

4) [mm] $x+x|y|=y+y|x|\gdw [/mm] ...$

Hier zuerst immer den Betrag mit dessen Definition auflösen.

Die ersten beiden Fälle sind klar, die Gleichungen 3) und 4) müssen addiert werden, dann bist du fertig.

Surjektivität für [mm] $x\ge0$ [/mm] und $x<0$ überprüfen:

[mm] $\frac{x}{1+x}=z\gdw [/mm] ...$

[mm] $\frac{x}{1-x}=z\gdw [/mm] ...$

Grüße, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Beweis Surjektivität/Injektivi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 So 10.01.2010
Autor: Study1988

Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe! Ich habe mir deine Antwort jetzt ausgedruckt und werde mich mit deren Hilfe jetzt noch einmal selbst der Aufgabe widmen.
Prinzipiell glaube ich aber, es dann jetzt hinzubekommen.
Lg study1988

Bezug
        
Bezug
Beweis Surjektivität/Injektivi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Mo 11.01.2010
Autor: fred97

Für die Injektivität ist keine Fallunterscheidung nötig:

Seien $ [mm] x,y\in\IR [/mm] $:

   Aus $ [mm] \frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}$ [/mm] folgt

     (*)        $x(1+|y|)=y(1+|x|) $

Also auch  $|x|(1+|y|)=|y|(1+|x|) $. Hieraus folgt: $|x|=|y|$. Daraus folgt dann mit (*), dass x=y ist.

FRED

Bezug
                
Bezug
Beweis Surjektivität/Injektivi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Mo 11.01.2010
Autor: Study1988

Ich denke, dass wohl beides möglich ist, oder?
Gestern habe ich mit Hilfe der Fallunterscheidung und der ersten Antwort die Aufgabe lösen kann, noch mal vielen Dank! :)


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