Beweis Teilbarkeit < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 31.08.2009 | | Autor: | puldi |
Hallo,
ich soll zeigen, dass [mm] 9^n [/mm] - 1 immer durch 8 teilbar ist.
Ich bin soweit, dass [mm] 9^n [/mm] immer durch 9 teilbar ist. Weiß jemand, wie ich den Rest zeige?
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mo 31.08.2009 | | Autor: | puldi |
genauso wollte ich machen, ich habe gezeigt, dass es für das reste glied gilt, aber für n+1 muss ich es noch zeigen. es steht dann ja
9^(n+1) - 1 ist durch 8 teilbar
[mm] 9^n [/mm] * [mm] 9^1 [/mm] -1 ist durch 8 teilbar
-->
[mm] 9^n [/mm] ist durch 9 teilbar ; [mm] 9^1 [/mm] ist durch 9 teilbar
--> [mm] 9^n *9^1 [/mm] ist durch 9 teilbar
nur kann ich sagen, irgendwas, was durch 9 teilbar ist abgezogen 1 ist immer durch 8 teilbar?
dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> nur kann ich sagen, irgendwas, was durch 9 teilbar ist
> abgezogen 1 ist immer durch 8 teilbar?
nein! Das geht so keineswegs.
Den Induktionsanfang sehe ich bei dir gar nicht. Vielleicht formulierst du erst einmal präzise, was zu zeigen ist:
Es ist [mm] 9^n-1 [/mm] durch 8 teilbar für alle [mm] n\ge{1}. [/mm] Das willst du zeigen.
Du beginnst also mit dem Induktionsanfang:
Für n=1: ...
Nun der alles entscheidende Induktionsschritt:
Sei [mm] k\in\IN [/mm] und es ist [mm] 9^k-1 [/mm] durch 8 teilbar.
Also muss die Aussage noch für k+1 gezeigt werden:
[mm] 9^{k+1}-1=9^{k}*9-1 [/mm] das hattest du richtig erkannt!
[mm] =9^{k}*(8+1)-1=...
[/mm]
Jetzt machst du mal weiter 
Die 8 in der Klammer sieht doch schon mal gut aus. Irgendein Faktor multpliziert mit 8 ist auch durch 8 teilbar. Löse die Klammer einmal auf und versuche dann mal zu argumentieren...
Gruß barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:02 Mo 31.08.2009 | | Autor: | puldi |
$ [mm] =9^{k}\cdot{}(8+1)-1=... [/mm] $
[mm] 9^k [/mm] * 8 + [mm] 9^k [/mm] - 1
so weit richtig?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
Ja....
und warum ist das jetzt durch 8 teilbar?
Du hast ja jetzt noch nicht begründet, warum deine Induktion abgeschlossen und der Beweis damit erbracht ist.
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 31.08.2009 | | Autor: | puldi |
ich würde das so sagen:
[mm] 9^k [/mm] ist immer ein Vielfaches von 9. Mit 8 multipliziert ist es auch immer durch 8 teilbar.
Also ist 8 * [mm] 9^k [/mm] durch 8 teilbar, ds sieht man ja quasi auch.
nur noch [mm] 9^k [/mm] -1; ach doch, für das haben wir ja ganz oben bereits gezeigt für n=1.
richtig? das wäre toll =)
danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hey,
> ich würde das so sagen:
>
> [mm]9^k[/mm] ist immer ein Vielfaches von 9.
was hast du eigentlich mit Deinem "Vielfaches von 9"? Du willst doch zeigen, dass das ganze durch 8 teilbar ist.
Du hast es doch schon treffend auf diese Form gebracht:
[mm] \green{9^k*8}+9^k-1
[/mm]
Der grüne Teil:
>Mit 8 multipliziert ist es auch immer durch 8 teilbar.
[mm] \checkmark
[/mm]
> Also ist [mm] 8*9^k [/mm] durch 8 teilbar, ds sieht man ja quasi
> auch.
[mm] \checkmark
[/mm]
> nur noch [mm]9^k[/mm] -1; ach doch, für das haben wir ja ganz oben
> bereits gezeigt für n=1.
Nein, dann müsste hier konkret [mm] 9^{\red{1}}-1 [/mm] stehen. Es steht hier aber [mm] 9^{\red{k}}-1. [/mm] Aber wir haben doch gesagt, wir nehmen ein [mm] k\in\IN [/mm] für das gilt [mm] 9^k-1 [/mm] ist durch 8 teilbar. Wir setzen dies also voraus. Und somit ist [mm] 9^k-1 [/mm] nach Voraussetzung durch 8 teilbar. Dieser Teil der Arguementation scheint am Anfang etwas merkwürdig. Aber wenn du dir darüber einmal Gedanken machst, wird das schnell ersichtlich.
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 31.08.2009 | | Autor: | puldi |
danke.
ich bin jetzt nocheinmal alles durchgegangen.
reicht es nicht, wenn n größergleich 0 ist?
Weil [mm] 9^0 [/mm] - 1 = 0 und 0 ist durch 8 teilbar?
Danke!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
> ich bin jetzt nocheinmal alles durchgegangen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> reicht es nicht, wenn n größergleich 0 ist?
Das geht auch. Ich fand es schöner für [mm] n\ge{1}. [/mm]
Dann kannst du natürlich auch sagen: [mm] \forall{n\in\IN} [/mm] (sofern ihr die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt.)
> Weil [mm]9^0[/mm] - 1 = 0 und 0 ist durch 8 teilbar?
>
> Danke!!!
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Gabs |
Die ganze Diskussion schein mir etwas verwirrend und aus den Fugen geraten.
Beginne mit der
Induktionsbehauptung: [mm] 9^{k}-1 [/mm] ist durch 8 teilbar
Nachweis für k=1, denn diese Behauptung soll für alle natürlichen Zahlen gelten, also auch für k=1
[mm] 9^{1}-1 [/mm] = 9-1=8, stimmt, 8 ist durch 8 ohne Rest teilbar
Induktionsvoraussetzung: [mm] 9^{k}-1=8n \to 9^{k}=8n+1
[/mm]
schreib hin, was Teilbarkeit durch 8 mathematisch bedeutet. Wenn nötig, kann diese Gleichung sogar umgeformt werden.
Induktionsbehauptung: [mm] 9^{k+1}-1 [/mm] ist durch 8 teilbar
Induktionsbeweis:
Zum Beweis wird die Behauptung eingesetzt.
[mm] 9^{k+1}-1=9^{k}*9-1=(8n+1)*9-1=72n+9-1=72n-8
[/mm]
und dies ist bestimmt durch 8 ohne Rest teilbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Mo 31.08.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Die ganze Diskussion schein mir etwas verwirrend und aus den Fugen geraten.
das kann durchaus passieren. Fällt mir nicht zwingend auf. Ich habe ja eine klare Gliederung im Kopf. Kommt schon vor, dass ich es letztendlich anders umsetze als gedacht. Aber danke für den Einwand. Werde ich bei weiteren Diskussion zu vermeiden versuchen.
MfG
barsch
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Hallo puldi,
ich möchte noch auf eine m.E. sehr elegante Alternative zur Induktion hinweisen, die den binomischen Lehrsatz benutzt:
Schreibe [mm] $9^n=(8+1)^n$
[/mm]
Dann ist [mm] $9^n-1=(8+1)^n-1=\left(\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}8^k\cdot{}1^{n-k}\right)-1=\left(\sum\limits_{k=0}^n\vektor{n\\k}\cdot{}8^k\right)-1=\left(1+\vektor{n\\1}\cdot{}8+\vektor{n\\2}\cdot{}8^2+.....+\vektor{n\\n}\cdot{}8^n\right)-1=....$
[/mm]
In der verbleibenden Summe ist jeder Summand durch 8 teilbar, damit auch die Summe
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Gabs |
Diese Art der Beweisführung setzt allerdings voraus, dass man die Binomialkoeffizienten in allgemeiner Form kennt. Bei den meisten reicht es nur bis n=2 oder höchstens n=3.
Und, was mir als sehr trickreich in diesem Zusammenhang erscheint, 9 in 8+1 aufzuteilen und diese Summe dann zu potenzieren. Ich wäre nicht darauf gekommen.
Herzlichen Dank für diese Mitteilung.
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Hallo
also ich bevorzug zu zeigen, dass [mm] \overline{9^{n}-1}= \overline{0} \in \IZ_{8}
[/mm]
Es gilt: [mm] \overline{9^{n}-1} [/mm] = [mm] \overline{9^{n}} [/mm] - [mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{1^{n}} [/mm] - [mm] \overline{1} [/mm] = [mm] \overline{1-1} [/mm] = [mm] \overline{0} \in \IZ_{8} \Box
[/mm]
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vollständige Induktion![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
und ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
