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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für jede ungerade Zahl n [mm] \in \IZ [/mm] die Differenz n²-1 durch 8 teilbar ist. |
Also ich hab mir das mal angeschaut und das sieht ja schwer nach einer Vollständigen Induktion aus:
Mein Anstaz:
für jede ungerade Zahl n [mm] \in \IZ [/mm] gilt:
entweder 1.): wenn n>0, n [mm] \in 2\IN+1 [/mm] =: {2z+1| z [mm] \in \IN [/mm] }
oder 2.): wenn n<0, n [mm] \in 2\IZ\le0+1 [/mm] =: {2z+1| [mm] \in \IZ\le0 [/mm] }
IA: (Fall 1) z=0 => n=1
1²-1 = 0
8|0 (wahr)
IV: Für jedes n>0, n [mm] \in 2\IN+1 [/mm] gilt:
8|n²-1 [mm] \gdw [/mm] [0] = n²-1 mod 8
IS: aus z+1 => n+2
(n+2)²-1 = n²+4n+4 -1 = (n²-1) + (4n + 4)
(4n + 4) = 4n-1 + 4 + 4 = 4n-1 + 8
Da n [mm] \in 2\IN+1 [/mm] (also ungerade) gilt: 8|4n-1 [mm] \wedge [/mm] 8|8
=> 8|4n+4
=> 8|(n+2)²-1
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moin Constantin,
Du scheinst ja schon modulo-Betrachtungen zu kennen.
Wenn n ungerade ist, was kann n dann modulo 8 sein?
Rechne dann [mm] $n^2 [/mm] - 1$ (mod 8) aus und staune, dass immer 0 rauskommt. ;)
Deine Induktion scheint auch richtig zu werden, wenn du noch den anderen Fall loswirst, aber es sieht doch etwas sehr umständlich aus.
lg
Schadow
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Also hätte ich ja:
Wenn n [mm] \in \IZ [/mm] ungerade dann gilt:
n modulo 8 [mm] \in [/mm] { [1],[3],[5],[7]}
für n²-1 modulo 8 gilt:
n= [1] : [1]*[1] -[1] = [0]
n= [3] : [3]*[3] -[1] = [0]
n= [5] : [5]*[5] -[1] = [0]
n= [7] : [7]*[7] -[1] = [0]
Damit gilt für alle ungeraden n [mm] \in \IZ/8\IZ [/mm] : 8|n²-2
Aber wie schreibe ich jetzt, das daraus folgt:
[mm] \forall [/mm] ungearden n [mm] \in \IZ [/mm] : 8|n²-1 ?
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> Also hätte ich ja:
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> Wenn n [mm]\in \IZ[/mm] ungerade dann gilt:
> n modulo 8 [mm]\in[/mm] { [1],[3],[5],[7]}
> für n²-1 modulo 8 gilt:
> n= [1] : [1]*[1] -[1] = [0]
> n= [3] : [3]*[3] -[1] = [0]
> n= [5] : [5]*[5] -[1] = [0]
> n= [7] : [7]*[7] -[1] = [0]
> Damit gilt für alle ungeraden n [mm]\in \IZ/8\IZ[/mm] : 8|n²-2
Wie kommst du auf [mm] 8|n^2-2?
[/mm]
Du hast gezeigt [mm] $n^2-1\equiv [/mm] 0$ (mod 8) [mm] $\Leftrightarrow 8|n^2-1$
[/mm]
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> Aber wie schreibe ich jetzt, das daraus folgt:
> [mm]\forall[/mm] ungearden n [mm]\in \IZ[/mm] : 8|n²-1 ?
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Ohja da hab ich mich einfach vertippt, es muss heißen:
Damit gilt für alle ungeraden n [mm] \in \IZ/8\IZ [/mm] : 8|n²-1
also könnte ich weiter schreiben:
=> 0 [mm] \equiv [/mm] n²-1 mod 8 [mm] \gdw [/mm] 8|n²-1 (für n ungerade [mm] \wedge [/mm] n [mm] \in \IZ) \Box
[/mm]
un wäre fertig ?
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> Ohja da hab ich mich einfach vertippt, es muss heißen:
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> Damit gilt für alle ungeraden n [mm]\in \IZ/8\IZ[/mm] : 8|n²-1
>
> also könnte ich weiter schreiben:
>
> => 0 [mm]\equiv[/mm] n²-1 mod 8 [mm]\gdw[/mm] 8|n²-1 (für n ungerade
> [mm]\wedge[/mm] n [mm]\in \IZ) \Box[/mm]
>
> un wäre fertig ?
>
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>
ja
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