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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 09.12.2011 | | Autor: | s1mn |
| Aufgabe | Man zeige, dass x [mm] \in \IN [/mm] genau dann durch 3 teilbar ist, wenn die Quersumme (im Dezimalsystem!) von x durch 3 teilbar ist. Genauer sei
x = [mm] a_{n} [/mm] * [mm] 10^{n} [/mm] + ... + [mm] a_{1} [/mm] * 10 + [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * 10{k}
und [mm] a_{0}, [/mm] ...., [mm] a_{n} \in [/mm] {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dann gilt
3 teilt x [mm] \gdw [/mm] 3 teilt [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] mit [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] = [mm] a_{0}+ a_{1} [/mm] + .... + [mm] a_{n}.
[/mm]
Man beweise dies. |
Hey Leute,
hab mal wieder ne Frage zu ner Aufgabe.
Wir haben im Tutorium ne ähnliche Aufgabe bereits behandelt. Allerdings ist mir dort der Lösungsweg nicht ganz klar gewesen.
Mein Ansatz zur Aufgabe sieht momentan so aus:
[mm] \Rightarrow [/mm] : sei x teilbar durch 3, mod 3 auf beide Seiten angewandt:
x mod 3 = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * 10{k} mod 3
0 = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * [mm] 1^{k} [/mm] mod 3
0 = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] mod 3
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] ist durch 3 teilbar.
[mm] \Leftarrow [/mm] : sei [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] durch 3 teilbar
0 = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * [mm] 1^{k} [/mm] mod 3
Nebenrechnung: [mm] 1^{k} [/mm] * a mod 3 = 1
[mm] 1^{k} [/mm] * 10 mod 3 = 1
[mm] (1^{-1})^{k} [/mm] = 10
x = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * [mm] 1^{k} [/mm] * 10 mod 3
x = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k} [/mm] * [mm] 10^{k} [/mm] mod 3
falls x durch 3 teilbar [mm] \Box
[/mm]
So sah der Beweis im Tutorium aus, nur mit dem Beispiel durch 11 teilbar.
Kann man den Beweis so durchgehn lassen oder gibt es noch irgendwas zu verbessern ?
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> Man zeige, dass x [mm]\in \IN[/mm] genau dann durch 3 teilbar ist,
> wenn die Quersumme (im Dezimalsystem!) von x durch 3
> teilbar ist. Genauer sei
> x = [mm]a_{n}[/mm] * [mm]10^{n}[/mm] + ... + [mm]a_{1}[/mm] * 10 + [mm]a_{0}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * 10{k}
> und [mm]a_{0},[/mm] ...., [mm]a_{n} \in[/mm] {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Dann
> gilt
> 3 teilt x [mm]\gdw[/mm] 3 teilt [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] mit
> [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] = [mm]a_{0}+ a_{1}[/mm] + .... + [mm]a_{n}.[/mm]
> Man beweise dies.
>
>
> Hey Leute,
>
> hab mal wieder ne Frage zu ner Aufgabe.
> Wir haben im Tutorium ne ähnliche Aufgabe bereits
> behandelt. Allerdings ist mir dort der Lösungsweg nicht
> ganz klar gewesen.
>
> Mein Ansatz zur Aufgabe sieht momentan so aus:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] : sei x teilbar durch 3, mod 3 auf beide Seiten
> angewandt:
> x mod 3 = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * 10{k} mod 3
> 0 = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * [mm]1^{k}[/mm] mod 3
> 0 = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] mod 3
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] ist durch 3 teilbar.
Hier sind alle Umformungen Äquivalenzen, d.h. dieser Teil beweist bereits beide Richtungen. Dabei wird benutzt 10=1 mod 3.
>
> [mm]\Leftarrow[/mm] : sei [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] durch 3 teilbar
> 0 = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * [mm]1^{k}[/mm] mod 3
>
> Nebenrechnung: [mm]1^{k}[/mm] * a mod 3 = 1
> [mm]1^{k}[/mm] * 10 mod 3 = 1
> [mm](1^{-1})^{k}[/mm] = 10
Die -1 ist hier fehl am Platz, die tritt nur bei Rechnung modulo 11 auf. Aber dieser Teil ist eh überflüssig, siehe oben
>
> x = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * [mm]1^{k}[/mm] * 10 mod 3
> x = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{k}[/mm] * [mm]10^{k}[/mm] mod 3
> falls x durch 3 teilbar [mm]\Box[/mm]
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> So sah der Beweis im Tutorium aus, nur mit dem Beispiel
> durch 11 teilbar.
>
> Kann man den Beweis so durchgehn lassen oder gibt es noch
> irgendwas zu verbessern ?
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