Beweis Teilmenge Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Zeige, ist f : V -> V K-linear und m < n, so gilt [mm] Ker(f^{m}) \subseteq Ker(f^{n}). [/mm] |
Guten Tag,
würde gerne diese Aufgabe bearbeiten. Kann mir jemand sagen was mit [mm] f^{n} [/mm] und [mm] f^{m} [/mm] gemeint ist? Sollen das Ableitungen sein?
LG Loriot95
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Sa 02.04.2011 | | Autor: | max3000 |
Ich denke mal dass das die Potenz darstellen soll.
Also [mm] $f^m=f\circf\circ\ldots\circ [/mm] f$ und das ganze m mal.
Den Beweis würde ich intuitiv erstmal indirekt machen.
Angenommen es existiert ein [mm] $v\in [/mm] V$, so dass
[mm] $v\in ker(f^m)$ [/mm] und [mm] $v\notin ker(f^n)$
[/mm]
Dann ist [mm] f^m(v)=0 [/mm] und
[mm] $f^n=f^{n-m}\circ f^m(v)=f^{n-m}(0)$
[/mm]
Da f linear sein soll, muss gelten:
[mm] f^{n-m}(0)=0, [/mm] was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Ich glaub das wars auch schon. Bitte nochmal von jemandem kontrollieren lassen. Bin grad im Zeitdruck und kann mir das jetzt nicht so genau ansehen.
Grüße
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 So 03.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Das
$ [mm] f^m=f\circf\circ\ldots\circ [/mm] f $
wurde Dir schon gesagt.
Sei k [mm] \in \IN [/mm] mit n=m+k. Für x [mm] \in [/mm] V ist
[mm] f^n(x)= f^k(f^m(x))
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für die beiden Antworten. Habe es nun so:
Sei x [mm] \in Kern(f^{m}) \Rightarrow f^{m}(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow f^{n}(x) [/mm] = [mm] f^{k}(f^{m}(x)) [/mm] = [mm] f^{k}(0) [/mm] = [mm] f^{k}(0*x) [/mm] = 0* [mm] f^{k}(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in Kern(f^{n}). [/mm] Somit ist die Behauptung bewiesen. Stimmt das so?
LG Loriot95
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 03.04.2011 | | Autor: | Lippel |
> Vielen Dank für die beiden Antworten. Habe es nun so:
>
> Sei x [mm]\in Kern(f^{m}) \Rightarrow f^{m}(x)[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow f^{n}(x)[/mm]
> = [mm]f^{k}(f^{m}(x))[/mm] = [mm]f^{k}(0)[/mm] = [mm]f^{k}(0*x)[/mm] = 0* [mm]f^{k}(x)[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in Kern(f^{n}).[/mm] Somit ist die Behauptung
> bewiesen. Stimmt das so?
Ja, allerdings gilt für lineare Abbildungen ja immer f(0)=0, damit kannst du dir am Ende zwei Schritte sparen: [mm] $f^{k}(0) [/mm] = 0$ ist damit nämlich klar.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Alles klar. Vielen Dank.
|
|
|
|
