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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}>\wurzel{n} [/mm] (n=2,3,...) gilt. |
Mein Ansatz:
für n=2 kommt: [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}>\wurzel{2} [/mm] w.A.
Jetzt habe ich aber Probleme, dass ganze zu beweisen.
Zwar kann ich die Gleichung für "n=p" und "n=p+1" aufstellen, jedoch weiß ich dann nicht, wie ich fortfahren soll.
Der Vergleichsoperator stört mich dabei sehr.
Wie kann ich zu einer Lösung gelangen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 So 19.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Ne0the0ne!
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k}}>\wurzel{n}[/mm]
> (n=2,3,...) gilt.
> Mein Ansatz:
> für n=2 kommt: [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}>\wurzel{2}[/mm] w.A.
Das halte ich für ein Gerücht. Für [mm]n=1[/mm] hast du doch [mm]\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{ 1}{ \sqrt{2}} > \sqrt 2[/mm] zu zeigen.
Das kannst du natürlich mit dem Taschenrechner bestätigen, aber für den Induktionsschritt "üben" wir hier mal.
Für später brauchen wir, dass für natürliche [mm]n\ge 2[/mm] gilt: [mm]n>\sqrt n[/mm]. Den Beweis davon überlasse ich dir...
Wir zeigen von links nach rechts
[mm]\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}=1+\frac{\sqrt 2}{2}=\frac {\red{2}}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}\red{>}\frac{\red{\sqrt 2}}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}=\sqrt 2[/mm] (bei den rot markierten Teilen, wurde obige Eigenschaft verwendet).
> Jetzt habe ich aber Probleme, dass ganze zu beweisen.
> Zwar kann ich die Gleichung für "n=p" und "n=p+1"
> aufstellen, jedoch weiß ich dann nicht, wie ich fortfahren
> soll.
> Der Vergleichsoperator stört mich dabei sehr.
>
> Wie kann ich zu einer Lösung gelangen?
Erstmal die Induktionsvoraussetzung hinschreiben. (überlasse ich dir)
Im Induktionsschritt musst zu [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt k}>\sqrt{n+1}[/mm] zeigen.
Wieder von links nach rechts:
[mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt k}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt n +\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/mm]
Forme jetzt, ähnlich wie ich es beim Induktionsanfang gemacht habe, um so dass am Ende [mm] $\ldots >\sqrt{n+1}$ [/mm] steht.
Bei Fragen poste gerne deinen Rechenweg, dann schauen wir, wo es hakt.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 So 19.10.2014 | | Autor: | Ne0the0ne |
Sie haben natürlich vollkommen recht.
Mein IA war nicht wirklich 100% durchdacht.
Allerdings habe ich jetzt beim Auflösen wieder ein Problem.
Meine Rechnung:
[mm] \wurzel{n+1}>\wurzel{n}+\bruch{1}{\wurzel{n+1}} |*\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] n+1>1+\wurzel{p^2+p}
[/mm]
Ab hier habe ich Probleme mit dem Auflösen.
Ich bitte um eine Korrektur bzw. um einen weiteren Tipp. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 19.10.2014 | | Autor: | Ne0the0ne |
> Zunächstmal ist das Ungleichheitszeichen falsch herum. Und
> wo kommt das p her?
Habe vergessen, das p durch dein n zu ersetzen. (siehe "Tipp")
>
> Ok, du kannst die Ungleichung auch durch
> Äquivalenzumformungen auf eine wahre Aussage
> zurückführen.
>
> [mm]\sqrt n +\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}\quad |\ \cdot\sqrt{n+1}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt n\cdot\sqrt{n+1}+1>n+1\quad |\ -1[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt n\cdot\sqrt{n+1}>n =\sqrt n\cdot\sqrt n \quad |\ :\sqrt n[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt{n+1}>\sqrt n[/mm]
Konnte gut die Rechenschritte nachvollziehen. Habe mich aber mal wieder dabei ertappt dass i die Wurzelgesetze beherrsche. :)
> Wenn du jetzt ans Quadrieren denkst: Vorsicht! Das ist im
> Allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Hier darf man es
> aber trotzdem machen. (Warum???)
Ich schätze mal, es klappt, weil es sich ja um keine Differenz oder Summe handelt sondern um ein Produkt. :)
> Noch etwas: Bei Ungleichungen muss man aufpassen, wenn man
> multipliziert/dividiert (warum?), warum geht das hier aber
> dennoch alles gut?
Meines Erachtens dreht sich der Vergleichsoperator wenn man mit - (MINUS) multipliziert und dividiert.
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
Liebe Grüße zurück u einen guten Start in die Woche,
der Olli.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 19.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Olli,
vorneweg ein Tipp: Wenn du Rückfragen stellst, mach daraus eine neue FRAGE (keine Mitteilung). So sehen alle Mitglieder, dass es eine offene Frage gibt und es wird dir evtl. schneller geholfen.
> > Zunächstmal ist das Ungleichheitszeichen falsch herum. Und
> > wo kommt das p her?
> Habe vergessen, das p durch dein n zu ersetzen. (siehe
> "Tipp")
> >
> > Ok, du kannst die Ungleichung auch durch
> > Äquivalenzumformungen auf eine wahre Aussage
> > zurückführen.
> >
> > [mm]\sqrt n +\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}\quad |\ \cdot\sqrt{n+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt n\cdot\sqrt{n+1}+1>n+1\quad |\ -1[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt n\cdot\sqrt{n+1}>n =\sqrt n\cdot\sqrt n \quad |\ :\sqrt n[/mm]
>
> >
> > [mm]\Leftrightarrow\quad \sqrt{n+1}>\sqrt n[/mm]
>
> Konnte gut die Rechenschritte nachvollziehen. Habe mich
> aber mal wieder dabei ertappt dass i die Wurzelgesetze
> beherrsche. :)
>
> > Wenn du jetzt ans Quadrieren denkst: Vorsicht! Das ist im
> > Allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Hier darf man es
> > aber trotzdem machen. (Warum???)
> Ich schätze mal, es klappt, weil es sich ja um keine
> Differenz oder Summe handelt sondern um ein Produkt. :)
Nein, das meine ich nicht. Betrachte mal
[mm]-3=3\quad |\ (\ldots )^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\quad (-3)^2=3^2[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\quad 9=9\quad \Rightarrow[/mm] wahre Aussage.
Da stimmt doch was nicht, oder?
> > Noch etwas: Bei Ungleichungen muss man aufpassen, wenn
> man
> > multipliziert/dividiert (warum?), warum geht das hier aber
> > dennoch alles gut?
> Meines Erachtens dreht sich der Vergleichsoperator wenn
> man mit - (MINUS) multipliziert und dividiert.
Richtig! Aber hier sind Variablen beteiligt - was ist denn, wenn n negativ ist?
Wie du vielleicht merkst, muss man bei dieser Vorgehensweise einiges beachten. Es sind zwar nur Kleinigkeiten, aber man muss einige Anmerkungen machen, wie z.B. "ich darf das hier machen, weil...."
Darum habe ich weiter oben vorgeschlagen, die Ungleichung von links nach rechts herzuleiten, d.h. von [mm]\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{\sqrt k}}[/mm] durch Umformungen und Verwenden der Induktionsvoraussetzung am Ende [mm]\ldots >\sqrt{n+1}[/mm] stehen zu haben.
> > Lieben Gruß,
> > Fulla
>
> Liebe Grüße zurück u einen guten Start in die Woche,
> der Olli.
Danke, dir auch!
Lieben Gruß,
Fulla
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