Beweis Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 So 01.05.2016 | | Autor: | brover |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist mit:
und |
Ich weiß, dass ich folgendes zu zeigen habe:
Mein Ansatz wäre:
1. Es gilt [mm] (0,0)\varepsilonU, [/mm] also
2. Seien v,w [mm] \varepsilon [/mm] U. Dann ex. [mm] a,b,a',b'\varepsilon \IR, [/mm] sodass:
v:= (a,b) w:= (a´,b´)
Hier scheitert es nun, da ich nicht weiß, wie ich die Eigenschaft [mm] a^2+b^4=0 [/mm] verwende.
Muss ich dies umstellen zu [mm] a^2 [/mm] = [mm] -b^4
[/mm]
Oder wie muss ich vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo brover,
dein Vorgehen ist soweit gut. Stelle nach a und nach b um, um die Komponenten deines Vektors zu erhalten. Ist U nun ein UVR?
Liebe Grüße
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Mo 02.05.2016 | | Autor: | chrisno |
Schreib v+w hin, das ist (a,b) + (a',b') = ....
Dann erscheint ein Problem.
Nun wird es Zeit, dass Du mal anschaust, welche Elemente überhaupt in U sind. Ich sehe da nicht viele.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Mo 02.05.2016 | | Autor: | brover |
(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') Aber wo ist hier ein Problem?
Und in U sind nur die Elemente (0,0).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:28 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') Aber wo ist hier ein
> Problem?
> Und in U sind nur die Elemente (0,0).
Ja, in U ist nur ein(!) Element: [mm] $U=\{(0,0)\}$
[/mm]
Ist U nun ein Untervektorraum ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mo 02.05.2016 | | Autor: | brover |
U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass a+a' = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Mo 02.05.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
möge man mich korrigieren, falls meine Ausführungen falsch sind! 
Die Menge U:={(0,0)} besteht nur aus dem Nullvektor und ist somit eine echte Teilmenge von V:= [mm] R^{2}, [/mm] also gilt: U [mm] \subset [/mm] V
Die einzig mögliche Vektoraddition ist [mm] \vektor{0\\0} [/mm] + [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0} [/mm] und das Ergebnis ist offensichtlich wieder ein Element der Menge U.
Und die Skalarmultiplikation ist einzig und allein mit dem Element [mm] \vektor{0\\0} [/mm] möglich. Also [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0\\0} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0}, [/mm] und dies gilt für alle [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Da der Nullvektor enthalten ist, ist U nicht-leer.
=> U ist ein Untervektorraum von V und erfüllt die Mindestbedingung, nämlich dass der Nullvektor enthalten sein muss. U wird auch "Nullvektorraum" genannt.
Gruß X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass
> a+a' = 0
Unsinn. Ist V ein K-Vektorraum mit dem Nullvektor 0 , so ist [mm] \{0\} [/mm] stets ein Untervektorraum.
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 Mo 02.05.2016 | | Autor: | X3nion |
> > U ist kein Untervektorraum, da kein a' existiert, sodass
> > a+a' = 0
Kurze Mitteilung noch @brover: Es wird nicht gefordert, dass a und a' verschieden sind!
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