Beweis: Urbild, Mengensystem < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 So 19.10.2008 | | Autor: | noctua |
| Aufgabe | Sei f eine Funktion von M nach N, sei B Teilmenge von N und sei P eine Menge von Teilmengen von N. Zeigen Sie:
[mm]f^{-1}[\cap P] = \cap \{f^{-1}[B] | B \in P\}[/mm] |
Hallo,
nachdem der erste Teil dank eurer Hilfe gemeistert ist, habe ich mich am zweiten Teil versucht, komme aber mal wieder nicht weiter.
Also, zunächst:
[mm]f^{-1}[\cap P] \to \cap \{f^{-1}[B] | B \in P \}[/mm]
Ich muss also wieder beweisen, dass ein x in beiden Mengen vorkommt:
[mm]x \in f^{-1}[\cap P] \to x \in \cap \{f^{-1}[B] | B \in P \}[/mm]
Nach der Definition des Urbildes:
[mm]f(x) \in {\cap P} \to ...[/mm]
Und jetzt hätte ich nach der Definition des Schnittes eines Mengensystems weitergemacht:
[mm]f{x} \in \{ x | \forall B(B \in P \to x \in B)\} \to ...[/mm]
So, und nun stecke ich wieder fest. Kann man den Alloquantor irgendwie ausklammern? Oder habe ich etwas falsch gemacht?
Vielen Dank und Gruß,
noctua
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:33 Mo 20.10.2008 | | Autor: | noctua |
Hallo,
mir wäre auch sehr geholfen, wenn jemand kurz beurteilen würde, ob das in Ordnung ist, was ich bisher habe.
Vielen Dank und Gruß,
noctua
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> Sei f eine Funktion von M nach N, sei B Teilmenge von N und
> sei P eine Menge von Teilmengen von N. Zeigen Sie:
> [mm]f^{-1}[\cap P] = \cap \{f^{-1}[B] | B \in P\}[/mm]
nicht weiter.
>
> Also, zunächst:
> [mm]f^{-1}[\cap P] \to \cap \{f^{-1}[B] | B \in P \}[/mm]
Hallo,
mach nicht solch ein Gewurschtel. Auch wenn Pfeile schick sind, passen sie nicht bei jeder Gelegenheit.
Es ist zu zeigen, daß [mm] f^{-1}[\bigcap \mathcal{P}] \red{=} \bigcap \{f^{-1}[B] | B \in \mathcal{P} \}.
[/mm]
dazu ist zu zeigen
i) [mm] f^{-1}[\bigcap \mathcal{P}] \subseteq \bigcap \{f^{-1}[B] | B \in \mathcal{P} \}
[/mm]
und
ii) [mm] \bigcap \{f^{-1}[B] | B \in \mathcal{P} \} \subseteq f^{-1}[\bigcap \mathcal{P}] [/mm]
zu i)
> Ich muss
> also wieder beweisen, dass ein x in beiden Mengen
> vorkommt:
Nein.
Du mußt zeigen, daß jedes Element welches in der ersten Menge liegt, auch in der zweiten ist, also
> [mm]x \in f^{-1}[\cap P] \to x \in \cap \{f^{-1}[B] | B \in P \}[/mm]
>
> Nach der Definition des Urbildes:
> [mm]f(x) \in {\cap P} \to ...[/mm]
>
> Und jetzt hätte ich nach der Definition des Schnittes eines
> Mengensystems weitergemacht:
> [mm]f{x} \in \{ x | \forall B(B \in P \to x \in B)\} \to ...[/mm]
>
> So, und nun stecke ich wieder fest. Kann man den
> Alloquantor irgendwie ausklammern? Oder habe ich etwas
> falsch gemacht?
Lassen wir grad mal kurz den Allquantor Allquantor sein.
Mathematik bedeutet nicht, daß man keine Worte verwenden darf!
Was bedeutet es, daß [mm] f(x)\in \bigcap \mathcal{P} [/mm] gilt?
Das bedeutet, daß f(x) in jeder der Mengen, die in [mm] \mathcal{P} [/mm] enthalten sind, drin ist.
Und das schreibe ich jetzt auf:
[mm] f(x)\in \bigcap \mathcal{P}
[/mm]
==> für alle [mm] B\in \mathcal{P}: f(x)\in [/mm] B
==> für alle [mm] B\in \mathcal{P}: x\in [/mm] ???
und dann weiter.
Gruß v. Angela
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