Beweis Vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:42 Di 13.05.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) Für x [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vektor{x \\ n} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ n + 1} [/mm] = [mm] \vektor{x + 1\\ n + 1}
[/mm]
(ii) Für x [mm] \in \IN [/mm] gilt :
(x + y [mm] )^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ n \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n -k)
(iii) Für x [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vektor{x + y \\ n } [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ x \\ n - k } [/mm] * [mm] \vektor{ y \\ k } [/mm] |
So, dann wollte ich mal wissen, ob ich die Aufgaben richtig gelöst habe und ob es auch mathematisch korrekt ist.
(i) [mm] \vektor{x \\ n} [/mm] ist für [mm] \IN [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] n : x!/(n! * (x - n)!)
x!/((n! * (x - n)!) + x!/((n + 1)! * (x - n + 1)!)
[mm] \gdw [/mm] x!/(n! * (x - n + 1)! * (x - n)!) + x!/(n! * (n + 1) * (x - n )!)
[mm] \gdw [/mm] x! * (n + 1) + x! * ( x - n )/((n+1)! * (x - n )!
[mm] \gdw [/mm] x! * (n + 1 + x - n)/((n + 1)! * (x - n )!) = (x + 1)!/((n + 1)! * (x - n)!) = [mm] \vektor{ x + 1 \\ n + 1} [/mm]
[mm] \Box
[/mm]
(ii) Vollständige Induktion:
IA: n = 0, (x + y [mm] )^0 [/mm] = 1 ; [mm] \summe_{k=0}^{0} \vektor{ 0 \\ k} x^k [/mm] * y^(0 - k) = 1
IV: Wir nehmen an, dass die Aussage für ein festes n wahr ist, so dass gilt:
(x + y [mm] )^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ n \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n -k)
IS: n [mm] \to [/mm] n + 1
(x + y)^(n + 1) = ( x + y) * ( x + [mm] y)^n
[/mm]
= (x + y) * [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ n \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n -k)
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ n \\ k } [/mm] * x^(k + 1)* y^(n -k) + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{ n \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n + 1 -k)
= [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \vektor{ n \\ k - 1} [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n + 1 -k) + [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \vektor{ n \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n + 1 -k)
= [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \vektor{ n \\ k - 1 } [/mm] + [mm] \vektor{ n \\ k }* x^k [/mm] * y^(n + 1 -k)
= [mm] \summe_{k=0}^{n + 1} \vektor{ n + 1 \\ k } [/mm] * [mm] x^k [/mm] * y^(n + 1 -k) [mm] \Box
[/mm]
Zu der (iii) muss ich noch eine Lösung finden. Hoffe mal, dass dies soweit alles stimmt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Mi 14.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast Deine eigene Lösung zur Überprüfung eingestellt. Das ist gut und entspricht den Regeln. Dennoch hast Du bisher keine Antwort erhalten. Woran das liegen könnte, kannst Du selbst mit einem Blick auf den Bildschirm feststellen.
Ich habe immer nur eine begrenzte Zeit, um Fragen zu beantworten. Daher beantworte ich zuerst die Fragen, die ich schnell verstehen und beantworten kann. Beim schnell verstehen habe ich das Problem. Im Prinzip muss ich alles entweder für Dich neu formatieren, oder mir auf ein Blatt schreiben, da es auf dem Bildschirm nicht lesbar ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 14.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Qight und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> (i) Für x [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]\vektor{x \\ n}[/mm] + [mm]\vektor{x \\ n + 1}[/mm] = [mm]\vektor{x + 1\\ n + 1}[/mm]
> (i) [mm]\vektor{x \\ n}[/mm] ist für [mm]\IN[/mm] mit x [mm]\ge[/mm] n : x!/(n! * (x
> - n)!)
Ja.
> x!/((n! * (x - n)!) + x!/((n + 1)! * (x - n + 1)!)
> [mm]\gdw[/mm] x!/(n! * (x - n + 1)! * (x - n)!) + x!/(n! * (n + 1)
> * (x - n )!)
Hier ist schon ein Fehler. Es gilt:
[mm] \vektor{x \\ n+1}=\frac{x!}{(n+1)!(x-(n+1))!}=\frac{x!}{(n+1)!(x-n-1)!}.
[/mm]
Deine
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
kann ich übrigens nicht nachvollziehen.
> [mm]\gdw[/mm] x! * (n + 1) + x! * ( x - n )/((n+1)! * (x - n )!
> [mm]\gdw[/mm] x! * (n + 1 + x - n)/((n + 1)! * (x - n )!) = (x +
> 1)!/((n + 1)! * (x - n)!) = [mm]\vektor{ x + 1 \\ n + 1}[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 15.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
