Beweis Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Beweisen Sie den Satz für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P):
(a) ∀A1,...,An ⊂ Ω disjunkt: [mm] P(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}P(A_{i})
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion. |
| Aufgabe 2 | | (b) ∀A⊂B⊂Ω: [mm] $P(B\setminus [/mm] A)=P(B) - P(A)$ Insbesondere gilt P (A) ≤ P (B). |
| Aufgabe 3 | | (c) ∀A,B⊂Ω: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) |
Grüße,
ich habe keinen Schimmer wie ich an die Beweise herangehen soll. Anwenden von mathematischen Konstrukten...ok, aber bei Beweisen reicht mein mathematisches Verständnis nicht aus.
Anregungen erwünscht.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 03.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Beweisen Sie den Satz für einen endlichen
> Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P):
>
> (a) ∀A1,...,An ⊂ Ω disjunkt: [mm]P(\bigcup_{i=1}^{m}A_{i})[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}P(A_{i})[/mm]
> Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion.
Was musst du denn tun, um die VI anwenden zu koennen?
> (b) ∀A⊂B⊂Ω: [mm]P(B\A)=P(B)−P(A)[/mm] Insbesondere gilt P (A) ≤ P (B).
Hier ist wohl der Wurm drin: Es ist stets [mm] $\emptyset\subset [/mm] B$. Dann wuerde immer gelten $P(B)=0_$.
> (c) ∀A,B⊂Ω: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
Hier ueberlege dir mal selber was. Zeichne vielleicht mal ein Venn-Diagramm.
vg Luis
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| Aufgabe | > Beweisen Sie den Satz für einen endlichen
> Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P):
>
> (a) ∀A1,...,An ⊂ Ω disjunkt:
> =
> Hinweis: Verwenden Sie vollständige Induktion.
Was musst du denn tun, um die VI anwenden zu koennen? |
Da fängt die Problematik für mich schon an. Bei einer VI habe ich bisher zuerst geprüft, ob die Annahme für natürliche Zahlen funktioniert (Induktionsanfang). Anschließend angenommen, dass sie für ein n stimmt (Induktionsannahme) und gezeigt das auch k+1 gilt. Das ganze Eingesetzt, Induktionsannahme eingesetzt, umgeformt ... Fertig.
mir erschließt sich bei dieser Aufgabe nicht mal der Induktionsanfang.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Fr 05.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Deine Formulierung ist leider schraeg: Du musst zeigen:
$ [mm] P(\bigcup_{i=1}^{\red{n}}A_{i}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n}P(A_{i}) [/mm] $
> Da fängt die Problematik für mich schon an. Bei einer VI
> habe ich bisher zuerst geprüft, ob die Annahme für
> natürliche Zahlen funktioniert (Induktionsanfang).
Nicht allgemein fuer natuerliche Zahlen, sondern fuer *eine*, zumeist $n=1$.
> Anschließend angenommen, dass sie für ein n stimmt
> (Induktionsannahme)
Korrekt.
> und gezeigt das auch k+1 gilt.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Fuer $n+1_$.
> mir erschließt sich bei dieser Aufgabe nicht mal der
> Induktionsanfang.
Fuer $n=1_$ ist $ [mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}P(A_{i})\iff P(A_1)=P(A_1)$, [/mm] was offenkundig korrekt ist.
Nimm nun an, dass gilt $ [mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}P(A_{i})$ [/mm] fuer disjunkte [mm] $A_1,\dots,A_n$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass daraus folgt $ [mm] P(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n+1}P(A_{i})$ [/mm] fuer disjunkte [mm] $A_1,\dots,A_n,A_{n+1}$.
[/mm]
Hinweis: [mm] $\bigcup_{i=1}^{n+1}A_{i}=\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right)\cup A_{n+1}=\bigcup_{i=1}^{n}(A_{i}\cup A_{n+1})$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hier ist wohl der Wurm drin: Es ist stets [mm]\emptyset\subset B[/mm].
> Dann wuerde immer gelten [mm]P(B)=0_[/mm].
schau dir mal den Code genauer an.
Nur die Darstellung hats zerlegt, die Aussage im Code stimmt 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Fr 05.04.2013 | | Autor: | luis52 |
Hi Gono,
danke fuer die Erleuchtung. Hab's mal korrigiert.
vg Luis
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