Beweis Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi
Ich verstehe nicht so ganz folgendes beim Beweis vom Wurzelkriterium:
Wenn der entsprechend definierte limsup nennen wir ihn A
größer als 1 ist, dann sind unendlich viele [mm] |a_n|>1??
[/mm]
Hä? Warum? Wie kann ich mir das bildlich vorstellen?
Der limsup ist ja scheinbar soetwas wie das Supremum einer Folge ab einem bestimmten Folgeglied, d.h. mindest eines der Folgeglieder die nach diesem bestimmten Folgeglied kommen nähert sich A beliebig nahe.
Wie wende ich das jetzt auf den Beweis an 0o
Bedeutet das wenn jetzt n gegen unendlich läuft, dass quasi nach dem unendlichsten Folgeglied immer noch eines existiert, dass A beliebig nahe kommt??
Gruß und freue mich auf Antwort
Okay ich glaub ich formuliere die Frage mal etwas präziser:
Sei
A := [mm] \limsup _{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] > 1
Es gibt unendlich viele n in N mit [mm] (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] > 1
und damit auch unendlich viele n in N mit [mm] |a_n|>1 [/mm]
[mm] a_n [/mm] kann also keine Nullfolge sein. Trivialkrit. verletzt.
Also:
Meine konkrete Frage ist:
Wie kann man diese:
A := [mm] \limsup _{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] > 1
Es gibt unendlich viele n in N mit [mm] (\wurzel[n]{|a_n|}) [/mm] > 1
Schlussfolgerung begründen bzw. sich bildlich vorstellen?
|
|
| |
|
hat denn niemand eine idee???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] b_n [/mm] = [mm] $\wurzel[n]{|a_n|} [/mm] $
Es ist A >1. Wähle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 so, dass 1< A- [mm] \varepsilon [/mm] und setze U = [mm] (A-\varepsilon, A+\varepsilon)
[/mm]
Da A ein Häufungswert von [mm] (b_n) [/mm] ist gibt es eine Teilfolge [mm] (b_{n_k}) [/mm] von [mm] (b_n), [/mm] die gegen A konvergiert.
Also gilt: [mm] b_{n_k} \in [/mm] U für fast alle k.
Somit : [mm] b_n \in [/mm] U für unendlich viele n, also [mm] b_n [/mm] > A- [mm] \varepsilon [/mm] >1 für unendlich viele n.
FRED
|
|
|
| |
|
hm...kannst du da mal was dazuschreiben...was ist U? warum wählst du epsilon gerade so und nicht anders? wie kann man sich das eigentich anschaulich vorstellen, dass A ein häufungspunkt ist? und warum folgt aus der tatsache, dass unendlich viele glieder größer als 0 sind zwingend, dass die folge nicht gegen 0 konvergiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm...kannst du da mal was dazuschreiben...was ist U?
U = $ [mm] (A-\varepsilon, A+\varepsilon) [/mm] $ ist die [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von A
>warum
> wählst du epsilon gerade so und nicht anders?
Weil es damit funktioniert
>wie kann man
> sich das eigentich anschaulich vorstellen, dass A ein
> häufungspunkt ist?
Der Limes superior einer Folge ist ein Häufungswert der Folge, und zwar der größte
>und warum folgt aus der tatsache, dass
> unendlich viele glieder größer als 0 sind zwingend, dass
> die folge nicht gegen 0 konvergiert?
Hä, wer hat das behauptet ??
Anmerkung: bevor Du Dich über den Beweis des Wurzelkriteriums hermachst, solltest Du Dir folgendes aneignen und damit umgehen lernen:
Konvergenz einer Folge
Teilfolgen
Häufungswerte von Folgen
Limes superior, Limes inferior
FRED
|
|
|
| |
|
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage138/
Also ich hab das für den Konvergenz-Fall so verstanden:
Der limsup ist das Supremum - also so etwas wie der größte Wert - einer Folge ab einem hinreichend großen [mm] n_0.
[/mm]
Also alle Folgeglieder mit [mm] n>n_0 [/mm] sind kleiner gleich diesem Supremum.
Wenn das Supremum kleiner als 1 ist bedeutet das ja, dass es eine Zahl q geben muss, die einerseits größer oder gleich der Folge selbst ist - aber gleichzeit auch echt kleiner als 1 ist. q ist also das "echte Supremum" der Folge.
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
>
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage138/
>
> Also ich hab das für den Konvergenz-Fall so verstanden:
>
> Der limsup ist das Supremum - also so etwas wie der größte
> Wert - einer Folge ab einem hinreichend großen [mm]n_0.[/mm]
> Also alle Folgeglieder mit [mm]n>n_0[/mm] sind kleiner gleich
> diesem Supremum.
> Wenn das Supremum kleiner als 1 ist bedeutet das ja, dass
> es eine Zahl q geben muss, die einerseits größer oder
> gleich der Folge selbst ist - aber gleichzeit auch echt
> kleiner als 1 ist. q ist also das "echte Supremum" der
> Folge.
>
> Ist das so richtig?
nein, es ist völliger Unsinn. Man weiß gar nicht wo man ansetzen soll
Z.B. ist lim sup [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0
Warum machst Du nicht das, was ich Dir oben geraten habe ?
FRED
|
|
|
| |
|
Nein ich finde es macht schon Sinn...ich versuche das ganze noch mal präzise Auszuformulieren:
Sei
q:= [mm] \limsup_{n_0\rightarrow\infty}(b_n [/mm] | n>=n0) < 1
Dann ist q das Supremum der Folge [mm] b_n [/mm] ab einem bestimmten Index [mm] n_0. [/mm] Dies bedeutet doch aber, dass [mm] b_n<=q [/mm] für [mm] n>=n_0 [/mm] und damit ist [mm] b_n<=q<1 [/mm] für [mm] n>=n_0. [/mm] Und der Rest vom Beweis ist klar.
Was ist -->genau<-- falsch??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Nein ich finde es macht schon Sinn...
Tut es nicht
ich versuche das ganze
> noch mal präzise Auszuformulieren:
>
> Sei
> q:= [mm]\limsup_{n_0\rightarrow\infty}(b_n[/mm] | n>=n0) < 1
> Dann ist q das Supremum der Folge [mm]b_n[/mm] ab einem bestimmten
> Index [mm]n_0.[/mm] Dies bedeutet doch aber, dass [mm]b_n<=q[/mm] für [mm]n>=n_0[/mm]
> und damit ist [mm]b_n<=q<1[/mm] für [mm]n>=n_0.[/mm] Und der Rest vom Beweis
> ist klar.
Das glaube ich nicht
>
> Was ist -->genau<-- falsch??
Nehmen wir z.B. [mm] b_n [/mm] = 1/2 +1/n
Dann ist lim sup [mm] b_n [/mm] = lim [mm] b_n [/mm] = 1/2 <1.
Aber : [mm] b_n [/mm] > 1/2 für jedes n und sup{ [mm] b_n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] } = 3/2
Ich glaube , Dir ist der Unterschied zwischen lim sup [mm] b_n [/mm] und sup{ [mm] b_n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] } nicht klar
FRED
|
|
|
| |
|
hm jetzt bin ich vollkommen verwirrt...also es ja eigentlich wirklich nur darum wie man von der limsup annahme auf diese andere äquivalente annahme kommt....
wie würdest du denn, dass für den Konvergenzfall begründen?? und warum ist mein Verständnis für den limsup eigentlich so falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Mann oh mann. Ganz konkrete Frage an Dich:
Du hast eine reelle Folge [mm] (b_n) [/mm] gegeben (meinetwegen beschränkt)
Was ist lim sup [mm] b_n [/mm] und was lim inf [mm] b_n. [/mm] Wie sind diese Größen definiert ?
FRED
|
|
|
| |
|
ja einfach
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {sup(b_k | k>n)}
[/mm]
k und n sind natürlich
d.h. man hat doch dann im Prinzip sowas da stehen
[mm] sup(b_k [/mm] | [mm] k>\infty)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja einfach
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {sup(b_k | k>n)}[/mm]
> k und n sind
> natürlich
>
> d.h. man hat doch dann im Prinzip sowas da stehen
> [mm]sup(b_k[/mm] | [mm]k>\infty)[/mm]
das macht doch keinen Sinn: $k [mm] \in \IN$ [/mm] und $k > [mm] \infty$? [/mm] Wenn Du Dir etwas vorstellen willst (nicht im bildlichen Sinne, sondern im Sinne von etwas, womit man, im geistigen Sinne "hantieren, arbeiten", kann), dann mache das bitte mit der Folge [mm] $(\overline{b_n})_{n \in \IN}$ [/mm] von hier.
Irgendwie fehlt Dir vll. auch noch ein wenig abstraktes Denken diesbezüglich (auch das kann an mangelnder Übung oder Missverständnissen liegen, also auch das bitte nicht als Angriff auffassen!), also machen wir es mal ein wenig konkreter:
Versuche Dir mal das ganze anhand der Folge
[mm] $$a_n:=\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$ [/mm]
klarzumachen.
Schreibe Dir mal die Mengen [mm] $B_1,\; B_2,\; B_3\; [/mm] ...$, vll. bis [mm] $B_{10}$ [/mm] auf. Und dann schau', was [mm] $\overline{b_1}\,,$ $\underline{b_1}\,,$ $\overline{b_2}\,,$ $\underline{b_2}\,,$... [/mm] ist.
(Etwas, was bei obiger Folge speziell ist:
Hier ist sogar [mm] $\text{sup} B_n=\text{max} B_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] analog ist auch sogar [mm] $\text{inf} B_n=\text{min} B_n\,.$ [/mm] Dass, bzgl. [mm] $B_n$, [/mm] das Supremum ein Maximum und das Infimum ein Minimum (für fast) alle $n$ ist, muss natürlich i.a. nicht sein.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Nein ich finde es macht schon Sinn...ich versuche das ganze
> noch mal präzise Auszuformulieren:
>
> Sei
> q:= [mm]\limsup_{n_0\rightarrow\infty}(b_n[/mm] | n>=n0) < 1
> Dann ist q das Supremum der Folge [mm]b_n[/mm] ab einem bestimmten
> Index [mm]n_0.[/mm]
Nein!
> Dies bedeutet doch aber, dass [mm]b_n<=q[/mm] für [mm]n>=n_0[/mm]
> und damit ist [mm]b_n<=q<1[/mm] für [mm]n>=n_0.[/mm] Und der Rest vom Beweis
> ist klar.
>
> Was ist -->genau<-- falsch??
Fred hat es schon angedeutet, aber ich sage es jetzt einfach mal, ohne jegliche Rücksicht:
Du hast offenbar die Begriffe Limsup und Liminf einer (beschränkten) Folge nicht verstanden. (Fasse das bitte nicht als Angriff auf, ich weiß, dass das nicht alleine Deine Schuld sein muss, sondern dass es auch daran liegen kann, dass diese Begriffe mehr oder weniger einfach in den Raum geworfen worden sind, und dass man sich damit dann rumplagen muss, bis man selber versteht, was diese Begriffe eigentlich bedeuten, weil der Dozent es versäumt hat, ein paar Worte mehr dazu zuverlieren.)
Schau vll. mal in ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript in Definition 5.18.
Sei mal [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine beschränkte Folge in [mm] $\IR\,.$ [/mm] (D.h. die Fälle mit [mm] $\pm \infty$ [/mm] lassen wir mal aussen vor.) Dann ist insbesondere für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Menge [mm] $B_n:=\{a_k: k \in \IN_{\ge n}\}$ [/mm] (wobei [mm] $\IN_{\ge n}:=\{m \in \IN: m \ge n\}$) [/mm] nach oben beschränkt und damit existiert [mm] $\overline{b_n}:=\text{sup} B_n \in \IR\,.$
[/mm]
Weil [mm] $B_m \subset B_n$ [/mm] für $m [mm] \ge [/mm] n$ ist, folgt damit [mm] $\text{sup} B_m \le \text{sup} B_n$ [/mm] für $m [mm] \ge n\,,$ [/mm] also ist die Folge [mm] $(\overline{b_n})_n$ [/mm] eine (in [mm] $\IR$) [/mm] monoton fallende Folge. Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch nach unten beschränkt ist, ist auch [mm] $(\overline{b_n})_n$ [/mm] nach unten beschränkt.
(Ist nämlich $U$ eine untere Schranke für [mm] $(a_n)_n$, [/mm] d.h. es gilt $- [mm] \infty [/mm] < U [mm] \le a_p$ [/mm] für alle $p [mm] \in \IN$, [/mm] so gilt insbesondere auch $U [mm] \le a_k$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_{\ge n}$; [/mm] also ist auch $U$ eine untere Schranke für jede Menge [mm] $B_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und damit gilt insbesondere $U [mm] \le \overline{b_n}=\text{sup} B_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$)
[/mm]
D.h. die Folge [mm] $(\overline{b_n})_{n \in \IN}=(\text{sup}\{a_k: k \in \IN_{\ge n}\})_{n \in \IN}$ [/mm] ist eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge und nach dem Hauptsatz über monotone Folgen existiert daher [mm] $\lim_{n \to \infty} \overline{b_n}=\lim_{n \to \infty} \text{sup}\{a_k: k \in \IN_{\ge n}\}=:\limsup_{n \to \infty} a_n \in \IR\,.$
[/mm]
Soweit solltest Du das erst mal verstehen. Dann können wir weiter diskutieren 
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
wo ist denn [mm] b_n [/mm] definiert? also [mm] B_n [/mm] ist beschränkt [mm] b_n [/mm] mit dem oberen strich auch aber einfach nur [mm] b_n....hmm
[/mm]
|
|
|
| |
|
haha netter test :P aber auf so einen billigen trick falle ich nicht herein :P :P ....
also deine Herleitung vom limsup ist wirklich sehr schön und detailiert und ich habe sie auch verstanden. Ich finde es nur etwas umständlich, dass du so viele Mengen definierst. Ich meine: Im Prinzip kann man doch einfach
[mm] B_n [/mm] := [mm] {a_k | k >= n } [/mm] k und n natürlich schreiben
Das läuft doch auf das gleiche hinaus. Okay.
Also ich bin jetzt voll und ganz damit einverstanden, dass dieser Limes existiert.
Anschaulich stell ich mir das immer so vor...
Ich definiere eine Folge:
[mm] (a_n):={5,4,2,6,1,9,...,1}
[/mm]
Dann ist
sup [mm] B_1 [/mm] := 9
sup [mm] B_2 [/mm] := 9
...
sup [mm] B_6 [/mm] := 9
sup [mm] B_n [/mm] := 1
Aber was ist jetzt wenn ich n gegen unendlich laufen lasse?
hmmm
Das heißt doch das man sehr wohl sagen kann...dass z.b.
sup [mm] B_x [/mm] das Supremum der Menge [mm] B_n [/mm] ab dem dem Index x angibt...d.h. man schließt die Elemente [mm] a_1,...,a_(x-1) [/mm] aus...wenn du verstehst was ich meine
Nehmen wir mal als Beispiel sup [mm] B_2 [/mm] = 9 .
Das bedeutet doch, dass 9 das Supremum der Menge [mm] B_n [/mm]
ab dem Index n=2 ist. Mit anderen Worten wir lassen das
Element mit dem Index 1 weg, sprich [mm] a_1. [/mm]
Dieses Elmt könnte (ist es nicht) z.B. 100000^2934324 sein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> haha netter test :P aber auf so einen billigen trick falle
> ich nicht herein :P :P ....
> also deine Herleitung vom limsup ist wirklich sehr schön
> und detailiert und ich habe sie auch verstanden. Ich finde
> es nur etwas umständlich, dass du so viele Mengen
> definierst. Ich meine: Im Prinzip kann man doch einfach
> [mm]B_n[/mm] := [mm]{a_k | k >= n }[/mm] k und n natürlich schreiben
> Das läuft doch auf das gleiche hinaus. Okay.
> Also ich bin jetzt voll und ganz damit einverstanden, dass
> dieser Limes existiert.
>
> Anschaulich stell ich mir das immer so vor...
>
> Ich definiere eine Folge:
> [mm](a_n):={5,4,2,6,1,9,...,1}[/mm]
Was soll das sein ? Eine Folge ?
Reelle Folgen sind Abbildungen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR
[/mm]
FRED
> Dann ist
> sup [mm]B_1[/mm] := 9
> sup [mm]B_2[/mm] := 9
> ...
> sup [mm]B_6[/mm] := 9
> sup [mm]B_n[/mm] := 1
>
> Aber was ist jetzt wenn ich n gegen unendlich laufen
> lasse?
>
> hmmm
>
|
|
|
| |
|
Ja...sry...das ganze ist etwas salopp formuliert...
a(1)=5
a(2)=4
a(n)=1
Außerdem sind die Zahlen 5,4, usw. ja auch Bestandteil von R :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja...sry...das ganze ist etwas salopp formuliert...
>
> a(1)=5
> a(2)=4
>
> a(n)=1
Für welche n ?????????????????????????????
> Außerdem sind die Zahlen 5,4, usw. ja auch Bestandteil von
> R :)
Mann, es ging um den Definitionsbereich einer Folge
FRED
|
|
|
| |
|
n ist natürlich weil Folge?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Mein Gott !
Du hattest doch
a(1)=5
a(2)=4
a(n)=1
Meine Frage war: für welche n soll a(n)=1 sein ? Für alle [mm] \ge [/mm] 2 ? oder was ?
FRED
|
|
|
| |
|
Ich wollte damit andeuten, dass das n-te Folgenglied den Wert 1 hat. Aber ich nehm jetzt mal die Folge von Marcel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich wollte damit andeuten, dass das n-te Folgenglied den
> Wert 1 hat.
Nochmal: für welche n ?
FRED
Aber ich nehm jetzt mal die Folge von Marcel.
Viel Glück
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich wollte damit andeuten, dass das n-te Folgenglied den
> Wert 1 hat. Aber ich nehm jetzt mal die Folge von Marcel.
meinst Du das:
[mm] $a(1):=5\,,$ [/mm] $a(2):=4$ und $a(n):=1$ (sonst; bzw. für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 3$)?
(Erkennst Du, dass hier wesentlich klarer ist, was gemeint ist. Man sollte alles wenigstens soweit vollständig notieren, so dass im Prinzip kein Interpretationsspielraum vorhanden ist (anstatt $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 3$ könntest Du auch einfach kurz $n [mm] \ge [/mm] 3$ schreiben, weil hier klar ist, dass $n [mm] \in \IN$ [/mm] sein soll). Bei Deiner Notation hätte ich gesagt: [mm] $a(1)=5\,,$ $a(2)=4\,,$ [/mm] $a(3)$ bis $a(n-1)$ werden nicht angegeben (vll. sollen diese alle $=0$ sein?). Dann wird $a(n)=1$ für ein festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gesetzt, und [mm] $a(n+1)\,, a(n+2)\,,...$ [/mm] werden wieder nicht angegeben; vll. sollen auch diese alle $=0$ sein?)
Dann schreibe das bitte auch so. Das ist allerdings wirklich eine "billige" Folge, um den Limsup und Liminf "herzuleiten". Denn hier ist doch [mm] $B_n=\{1\}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge 3\,.$ [/mm]
Man soll sich das Leben zwar nicht unnötig verkomplizieren, aber auch nicht banaler machen, als es ist
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja...sry...das ganze ist etwas salopp formuliert...
>
> a(1)=5
> a(2)=4
>
> a(n)=1
>
schreib' mir mal die ersten 10 Folgeglieder Deiner "Folge" auf. Bei der Definition einer Folge $a: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] muss ersichtlich sein, dass und wie sich, für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] das Folgeglied [mm] $a(n)=:a_n$ [/mm] berechnen läßt.
Das geht explizit oder rekursiv, bei Dir sieht das eher so aus, als wenn Du einen Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] schreiben würdest und dabei noch nicht mal alle Komponenten mit angibst. Jedenfalls wird (fast?) keiner direkt verstehen, wie man nur mit den obigen spärlichen Angaben erkennen soll, welche Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] Du meinst...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> haha netter test :P aber auf so einen billigen trick falle
> ich nicht herein :P :P ....
das war kein Test; jedenfalls kein beabsichtigter
> also deine Herleitung vom limsup ist wirklich sehr schön
> und detailiert und ich habe sie auch verstanden. Ich finde
> es nur etwas umständlich, dass du so viele Mengen
> definierst. Ich meine: Im Prinzip kann man doch einfach
> [mm]B_n[/mm] := [mm]\{a_k | k >= n \}[/mm] k und n natürlich schreiben
(Ich habe einen Backslash vor der jeweiligen Mengenklammer ergänzt, sonst erscheint diese nämlich nicht. Klick ruhig mal auf die Formeln oder geh' mit dem Mauszeiger drüber, um zu sehen, wie diese geschrieben werden.)
Das ganze ist nicht von mir so ausgedacht, sondern ich habe das so gelernt. Ob Du nun die Mengen [mm] $B_n$ [/mm] einführst und oder auch [mm] $\overline{b_n}$ [/mm] benutzt oder nicht, das ist nicht so wichtig. Es geht halt einfach darum, dass man sich klarmacht, dass, wenn eine beschränkte Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] gegeben ist, die Folge [mm] $(\text{sup}\{a_k: k \ge n\})_{n \in \IN}$ [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt ist, so dass man von [mm] $\lim_{n \to \infty} \text{sup}\{a_k: k \ge n\}$ [/mm] überhaupt sprechen kann.
> Das läuft doch auf das gleiche hinaus. Okay.
> Also ich bin jetzt voll und ganz damit einverstanden, dass
> dieser Limes existiert.
>
> Anschaulich stell ich mir das immer so vor...
>
> Ich definiere eine Folge:
> [mm](a_n):={5,4,2,6,1,9,...,1}[/mm]
> Dann ist
> sup [mm]B_1[/mm] := 9
> sup [mm]B_2[/mm] := 9
>
> ...
> sup [mm]B_6[/mm] := 9
> sup [mm]B_n[/mm] := 1
>
> Aber was ist jetzt wenn ich n gegen unendlich laufen
> lasse?
>
> hmmm
Siehe Fred's Hinweis. Nimm doch die Folge, die ich Dir vorgeschlagen habe. Wie Deine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] aussehen soll, ist (mir jedenfalls) vollkommen unklar, sofern es bei Dir so aussieht, als wenn die Folge nur endlich viele Folgenglieder hätte? Was soll das andeuten? Dass alle darauffolgenden Folgeglieder stets 0 sind?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Ja also den limsup kann man bei deiner Folge so berechnen, Marcel.
Man macht eine Fallunterscheidung zwischen geraden und ungeraden n.
1. Fall: Gerade n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup(a_n|k>=n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/2 + 1/(2n) = 1/2
Weil ja n kleiner als alle k's ist, dann ist natürlich
1/(2n) das größte aller denkbaren 1/(2k) und damit ist
1/2 + 1/(2n) das Supremum.
2.Fall: Ungerade n
Okay ich glaube das Supremum ist hier 1/2 + 1/(2(n+1))
Damit wäre der limsup=1/2
|
|
|
| |
|
hm...ich glaube der nächste schritt wäre dann das mit dem größten häufungspunkt zu zeigen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja also den limsup kann man bei deiner Folge so berechnen,
> Marcel.
>
> Man macht eine Fallunterscheidung zwischen geraden und
> ungeraden n.
>
> 1. Fall: Gerade n
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} sup(a_{\red{n}}|k>=n)[/mm] =
Fehler beim Index: Dort gehört [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} sup\{a_{\blue{k}}|k \ge n\}$ [/mm] hin!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1/2 + 1/(2n) = 1/2
> Weil ja n kleiner als alle k's ist, dann ist natürlich
> 1/(2n) das größte aller denkbaren 1/(2k) und damit ist
> 1/2 + 1/(2n) das Supremum.
>
> 2.Fall: Ungerade n
> Okay ich glaube das Supremum ist hier 1/2 + 1/(2(n+1))
>
> Damit wäre der limsup=1/2
Da sind einige Notationsmängel (anstatt $n$ schreibst Du manchmal $2n$ etc.):
Mache Dir folgendes klar:
[mm] $$\text{sup} B_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \text{ für gerades }n \in \IN\,,$$
[/mm]
[mm] $$\text{sup} B_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1} \text{ für ungerades }n \in \IN\,.$$
[/mm]
Du wolltest oben wohl so etwas benutzen wie, dass für gerades $n [mm] \in \IN$ [/mm] man dann $n=2m$ mit (genau) einem $m [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben kann, und dass man für ungerades $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann $n=2l-1$ mit (genau) einem $l [mm] \in \IN$ [/mm] schreiben kann.
Dann kann man natürlich sagen
[mm] $$\text{sup} B_{2m}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2m\,,}$$
[/mm]
[mm] $$\text{sup} B_{2l-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{(2l-1)+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2l}\,.$$
[/mm]
Und damit ist (fast) sofort klar, dass für die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] von hier [mm] $\limsup_{n \to \infty} a_n=1/2$ [/mm] gilt.
P.S.:
Nochmal zur Kontrolle:
Ich hatte
$$ [mm] a_n:=\begin{cases} \frac{1}{2}+\frac{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -\frac{1}{3}-\frac{1}{2n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $$
vorgeschlagen. Vll. bist Du auch nur ein wenig durcheinander gekommen, weil ich bei den ungeraden $n$'s da $2n$ in den Nenner geschrieben habe, was ich bei den geraden nicht getan habe
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
okay....und wie kann man sich den limsup jetzt graphisch vorstellen also im Schaubild....bis dato hab ich immer das Bild von wiki genommen...
und was ist jetzt der "missing link" zum beweis des wurzelkriteriums...? das mit den häufungspunkten???
cu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay....und wie kann man sich den limsup jetzt graphisch
> vorstellen also im Schaubild....bis dato hab ich immer das
> Bild von wiki genommen...
>
> und was ist jetzt der "missing link" zum beweis des
> wurzelkriteriums...? das mit den häufungspunkten???
ich weiß nicht genau, was Du Dir unter "vorstellen" vorstellst?
Aber gut:
Dann mache Dir mal klar, wie man sich einen Häufungspunkt einer Folge vorzustellen hat. Ein Häufungspunkt einer Folge ist quasi eine Zahl (ein Element), die (das), egal, welche noch so kleine [mm] $\varepsilon$-Umgebung ($\varepsilon [/mm] > 0$) sie sich vorgibt, sich in dieser immer unendlich viele Folgenglieder der Folge befinden.
Bildlich gesagt:
Egal, welchen kleinen Kreis der Häufungspunkt sich vorgibt, er wird niemals von nur endlich vielen Folgengliedern umgeben sein, oder noch anders ausgedrückt: Er kann sich nicht in einen genügend kleinen Kreis zurückziehen, so dass es in diesem Kreis um ihn kein Folgenglied gibt. Er kann sich also nicht von der Folge "isolieren", wenn man sich das irgendwie bildlich vorstellen will.
Der Limsup ist der "größte" Häufungspunkt. Dabei muss man aber beachten: Zunächst würde man denken, dass man besser erstmal sagen würde, dass der Limsup wohl das Supremum über die Menge aller Häufungspunkte einer gegebenen beschr. Folge ist. Dass dieses Supremum aber sogar ein Maximum ist, erkennst Du, indem Du Dir klarmachst, dass die Menge der Häufungspunkte einer beschr. Folge sowohl beschr. als auch abgeschlossen ist (oder m.a.W.: kompakt). D.h. in der Menge der Häufungspunkte einer gegebenen beschr. Folge existiert ein maximales Element, und das ist der größte Häufungspunkt bzw. der Limsup der gegebenen beschr. Folge.
(Bzw. im Einklang mit dem von Wiki gesagten: Wenn eine Folge nach oben beschränkt ist, dann ist die Menge der Häufungspunkte der Folge insbesondere auch nach oben beschränkt (hier gilt i.a. nur nach oben beschr., nach unten beschr. muss nicht sein; also von kompakt könnte man hier auch nicht sprechen!), und weil die Menge der Häufungspunkte (hier auch!) abgeschlossen ist, existiert in der Menge der Häufungspunkte der nach oben beschr. Folge ein maximales Element. Das ist gerade der Limes Superior der nach oben beschr. Folge.)
Ich finde es daher viel wichtiger, dass Du Dir erstmal klarmachst, was eigentlich ein Häufungspunkt einer Folge ist. Und Dir auch nochmal klarmachst, was das Supremum einer Menge ist (kleinste obere Schranke).
Generell:
Siehe dazu auch hier, Satz 2.721, hier, 1.7.8 oder halt auch Wiki: Häufungspunkt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
hi also ich hab im skript von marcel
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
jetzt etwas weitergearbeitet und ich verstehe nicht warum aus der Tatsache, dass epsilon beliebig aber größer 0 ist limsup [mm] a_n [/mm] <= a folgt.das ist seite 48 etwas oberhalb von der mitte. beim zweiten teil des beweises.
kann mir jemand helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hi also ich hab im skript von marcel
> http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
> jetzt etwas weitergearbeitet und ich verstehe nicht warum
> aus der Tatsache, dass epsilon beliebig aber größer 0 ist
> limsup [mm]a_n[/mm] <= a folgt.das ist seite 48 etwas oberhalb von
> der mitte. beim zweiten teil des beweises.
> kann mir jemand helfen?
das ist doch ein Standardtrick der Analysis:
Ist $r [mm] \blue{<} s+\varepsilon$ [/mm] (da kannst Du auch [mm] $\blue{\le}$ [/mm] schreiben) für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so muss schon $r [mm] \le [/mm] s$ gelten.
(Tatsächlich ist das eigentlich eine Äquivalenzaussage: Denn aus $r [mm] \le [/mm] s$ folgt natürlich in trivialer Weise $r < [mm] s+\varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\;\;\;( \ge r-s)\,.$)
[/mm]
Denn:
Angenommen, es gelte $r < [mm] s+\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und es wäre doch $r > [mm] s\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $\varepsilon_0:=\frac{r-s}{2} [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Insbesondere wäre nach Vorr. $r < [mm] s+\varepsilon_0\,,$ [/mm] also $r < [mm] s+\frac{r-s}{2}=\frac{r+s}{2}\,.$ [/mm] Die letzte Ungleichung ist aber äquivalent zu $2 r < [mm] r+s\,,$ [/mm] was wiederum gleichwertig mit $r < s$ ist; im Widerspruch zur Annahme $r > [mm] s\,.$
[/mm]
Alternativ kann man das auch so zeigen:
1. Alternative:
Wenn $r < [mm] s+\varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, so folgt insbesondere auch $r < [mm] s+\frac{1}{n}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Daraus erkennt man $r [mm] \le s\,.$ [/mm] Wäre nämlich $r > [mm] s\,,$ [/mm] so folgte [mm] $s+\frac{1}{N} [/mm] < r$ für $N [mm] \in \IN$ [/mm] so groß, dass [mm] $\frac{1}{N} <\underbrace{r-s}_{> 0\,, \text{ da nach Ann. }r > s}\,.$
[/mm]
2. Alternative:
Der selbe Grundgedanke:
$r < [mm] s+\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ liefert $r [mm] \le [/mm] s$, indem man $(0 [mm] <\,)\;\;\; \varepsilon \to [/mm] 0$ laufen läßt.
Da gibt es sicher noch weitere Beweismöglichkeiten dieser Tatsache...
P.S.:
Genauso erkennst Du übrigens:
Falls $r > [mm] s-\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, so folgt $r [mm] \ge s\,.$ [/mm] Das kannst Du entweder analog überlegen, oder einfach durch Umschreiben:
$r > [mm] s-\varepsilon \gdw [/mm] s < [mm] r+\varepsilon$ [/mm] (jeweils für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) und damit gilt nach dem oben bewiesenen $s [mm] \le [/mm] r$ bzw. (gleichwertig dazu) $r [mm] \ge s\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Deine 2.Möglichkeit habe ich mir auch überlegt,
aber ich war mir unsicher ob "Für beliebige epsilon>0"
bedeutet "Für alle beliebigen epsilon>0" oder "Für beliebige epsilon>0 also insbesondere für sehr kleine epsilon"
Das mit Ungleichungen zu zeigen geht aber nur in die eine Richtung...also wenn man sagt r<=s und epsilon>0 --> r-s<=epsilon...für die andere Richtung muss man deinen "komplizierten Beweis" nehmen...
|
|
|
| |
|
okay also ich hab mir alle Sätze zum limsup durchgelesen im Trierer Skript. Was ist nun deine Begründung von Teil 1 von Satz 6.17 (also dem Wurzelkriterium)?
Schreibs mal bitte auf. Vielleicht meinen wir ja das gleiche nur ich kann es nicht "richtig mathematisch formulieren". Gruß
|
|
|
| |
|
Okay ich glaub ich kann es jetzt gut begründen:
Ziel ist die Konstruktion einer konvergenten Majorante.
Dazu wählen wir oBdA [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] < q < 1
Nach Satz 5.2 1a) existiert ein natürliches [mm] n_0 [/mm] für alle natürlichen N mit [mm] n>=n_0 [/mm] --> [mm] b_n [/mm] - epsilon < b
Daraus ergibt sich aber [mm] b_n [/mm] - epsilon < b = [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] < q
Und damit gilt für beliebige epsilon (nach dem was wir oben besprochen haben) auch [mm] b_n [/mm] < q und nach Voraussetzung auch [mm] b_n [/mm] < q < 1. Der Rest ist dann klar.
Richtig, oder :D???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Deine 2.Möglichkeit habe ich mir auch überlegt,
> aber ich war mir unsicher ob "Für beliebige epsilon>0"
> bedeutet "Für alle beliebigen epsilon>0" oder "Für
> beliebige epsilon>0 also insbesondere für sehr kleine
> epsilon"
"für beliebige [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$" oder "für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$" bedeutet für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, und wenn etwas für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, gilt es insbesondere auch für 'beliebig kleine' [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Aber der Ausdruck 'beliebig kleine [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$' ist unpräzise, denn da wäre natürlich die Frage, wann etwas "klein genug" ist, und das kann von Fall zu Fall verschieden sein. Manchmal ist das sogar irrelevant (z.B. wenn man beweist, dass jede Cauchyfolge in [mm] $\IR$ [/mm] beschränkt ist), und oben hängt das von dem angenommenen Abstand $r-s$ ab (unter der Annahme $r > s$).
Eigentlich werden die Sätze ja auch so formuliert, dass man sagt: "Wenn für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt..." und dann kommt manchmal auch in Klammern der Zusatz, der darauf hinweist, dass man z.B. im Beweis o.E. [mm] $\varepsilon [/mm] < K$ mit einer gewissen Konstante $K > 0$ annehmen kann, indem da steht: "Wenn für jedes (noch so kleine) [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$..."
Das ist aber eigentlich auch mehr ein Hinweis dafür, dass gerade die kleinen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ bei der Definition die "Hauptrolle" spielen. Nimm' die Definition der Konvergenz einer Folge. Wenn Du irgendeine beschränkte Folge betrachtest, so ist diese nicht notwendig konvergent. Wir betrachten z.B. [mm] $a_n=(-1)^n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] Wenn Du hier $a=0$ und [mm] $\varepsilon [/mm] =2$ setzt, so liegen alle [mm] $a_n$ [/mm] in [mm] $(a-\varepsilon,\,a+\varepsilon)=(-2,\;2)$. $(a_n)_n$ [/mm] ist aber divergent. Und dass [mm] $a_n \not\to [/mm] 0$ erkennst Du z.B. mit [mm] $\varepsilon=1/2\,.$
[/mm]
> Das mit Ungleichungen zu zeigen geht aber nur in die eine
> Richtung...also wenn man sagt r<=s und epsilon>0 -->
> r-s<=epsilon...für die andere Richtung muss man deinen
> "komplizierten Beweis" nehmen...
Auch das ist eine Standardsache, die man im ersten Semester lernen sollte (gelernt haben sollte?). Nicht bei jedem Beweis kann man alle Folgerungen umkehren.
Typisch:
Ist $a [mm] \in \IR$, [/mm] so gilt:
Aus $a [mm] \ge [/mm] 0$ folgt [mm] $a^2 \ge [/mm] 0$. (Kurz: $a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow a^2 \ge [/mm] 0$). Die Umkehrung ist aber i.a. falsch:
[mm] $a^2 \ge [/mm] 0 [mm] \underset{i.a.}{\not\Rightarrow} [/mm] a [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Denn [mm] $(-2)^2=4 \ge [/mm] 0$, aber $-2 < [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
hä ich hab mal eine dumme frage....deine obigen beweise sind mir schon klar...aber was ist an folgendem falsch:
Sei r + epsilon > 1 --> r > 1
Nehmen wir an r < 1 und führen wir das zu einem Widerspruch. Wenn 1 > r, dann ist doch r+epsilon > r und damit epsilon > 0. Das ist doch aber keine falsche Aussage 0o 0o ...hä grad hakts irgendwie...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hä ich hab mal eine dumme frage....deine obigen beweise
> sind mir schon klar...aber was ist an folgendem falsch:
> Sei r + epsilon > 1 --> r > 1
> Nehmen wir an r < 1 und führen wir das zu einem
> Widerspruch. Wenn 1 > r, dann ist doch r+epsilon > r und
> damit epsilon > 0. Das ist doch aber keine falsche Aussage
> 0o 0o ...hä grad hakts irgendwie...
das zeigt nur, dass Dein 'Beweis' keine Aussage liefert, dass Du nicht die behauptete Aussage zeigst oder dass Du nichts zeigst .
Aber die Behauptung [mm] $r+\varepsilon [/mm] > 1 [mm] \Rightarrow [/mm] r > 1$ ist eh falsch. Selbst, wenn Du meinst:
Gilt [mm] $r+\varepsilon [/mm] > 1$ für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so muss schon $r >1$ gelten.
Auch das ist falsch. Das erkennst Du, indem Du einfach mal $r=1$ einsetzt. Denn es gilt sicherlich [mm] $1+\varepsilon [/mm] > 1$ für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] aber $r=1 > 1$ ist Quatsch.
D.h. Dein Beweis sollte so aussehen:
Zu zeigen:
Gilt $r > [mm] 1+\varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so ist $r [mm] \ge [/mm] 1$.
Und jetzt passt Dein erster Satz von oben:
> Nehmen wir an r < 1 und führen wir das zu einem
> Widerspruch.
Das wäre okay!
> Wenn 1 > r, dann ist doch...
Auch das ist okay. Jetzt schreibst Du aber nur: Wenn [mm] $r+\varepsilon [/mm] > r$, dann ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Das ist zwar richtig, hilft Dir beim Beweis aber nicht weiter. Soll heißen: Alleine mit irgendeinem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ erhälst Du hier keinen Widerspruch. Du musst das [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, mit dem Du einen Widerspruch erzeugen willst, konkretisieren.
Mache Dir doch die Situation mal am Zahlenstrahl klar:
Es soll einerseits [mm] $r+\varepsilon [/mm] >1$ für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gelten, andererseits nimmst Du an, es wäre [mm] $\blue{r} [/mm] < 1$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
An dem Bild erkennst Du nun:
Wir nehmen an, es wäre $r < [mm] 1\,.$ [/mm] Dann liegt $r$ echt links von der $1$. Zudem soll aber [mm] $r+\varepsilon [/mm] > 1$ für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gelten. Nimmst Du nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass [mm] $\varepsilon [/mm] > 1-r$ ist (im Bild z.B. demonstriert durch [mm] $\varepsilon_1$), [/mm] so erhälst Du damit keinen Widerspruch (denn dann liegt [mm] $r+\varepsilon$ [/mm] echt rechts von der $1$; algebraisch ist das auch leicht einzusehen:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 1-r (> 0 [mm] \text{ nach Annahme})$, [/mm] so gilt [mm] $r+\varepsilon [/mm] > [mm] r+1-r=1\,,$ [/mm] also [mm] $r+\varepsilon [/mm] > [mm] 1\,.$)
[/mm]
Wählen wir aber $0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] 1-r$ (im nächsten Bild demonstriert z.B. durch [mm] $\varepsilon_2$), [/mm] so ist aber [mm] $r+\varepsilon \le 1\,.$ [/mm] (Das heißt, für die [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, die auch [mm] $\le [/mm] 1-r$ sind, liegt [mm] $r+\varepsilon$ [/mm] nicht mehr echt rechts von der [mm] $1\,.$) [/mm] Für diese [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ erhalten wir also einen Widerspruch (es sollte ja $1 < [mm] r+\varepsilon$ [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ sein!).
(Auch hier wieder algebraisch:
$0 < [mm] \varepsilon \le [/mm] 1-r$ liefert [mm] $r+\varepsilon \le r+1-r=1\,.$)
[/mm]
Und da wir nur ein solches [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ benötigen, um einen Widerspruch zu erzeugen, wählen wir das etwas konkreter, z.B. [mm] $\varepsilon:=\frac{1-r}{2} [/mm] > 0$ würde es tun.
(Generell ginge es, dass Du für irgendein $0 < t [mm] \le [/mm] 1$ dann [mm] $\varepsilon:=t*(1-r) (\;> 0\;, \text{ da nach der Annahme } [/mm] 1 > r)$ wählst.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
P.S.:
Interessanter ist es übrigens, zu beweisen:
Gilt $r > [mm] 1-\varepsilon$ [/mm] (bzw. $1 < [mm] r+\varepsilon$) [/mm] für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so ist $r [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Denn in der Form wird das ja immer benutzt, läuft aber prinzipiell von der Beweisidee so ab wie oben.
(Versuche es also mal allgemein:
Es gelte $a [mm] \begin{cases} <\\ \le \end{cases}b+\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Zu zeigen: Dann gilt $a [mm] \le [/mm] b$.
Beweis:
Nimm' an, es wäre $a [mm] \,>\, [/mm] b$. Mache Dir die Situation wieder am Zahlenstrahl klar: Dann liegt [mm] $\,a\,$ [/mm] echt rechts von [mm] $b\,.$
[/mm]
Zeige, dass ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ existiert mit [mm] $b+\varepsilon_0 [/mm] < a$ (dazu wähle irgendein $0 < t < 1$ und setze [mm] $\varepsilon_0=t*(a-b) [/mm] > 0$; mit $t=1/2$ wäre z.B. speziell [mm] $\varepsilon_0=(a-b)/2 [/mm] > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Mal ganz unabhängig davon.
Der Beweis zum Wurzelkriterium ist aber schon richtig, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mal ganz unabhängig davon.
> Der Beweis zum Wurzelkriterium ist aber schon richtig,
> oder?
welcher? Der aus dem von mir verlinkten Skript stimmt mit Sicherheit; aber den meinst Du sicher nicht. Verlink' nochmal genau, welchen Beweis Du meinst, denn bei den hunderten von Fragen/Antworten in diesem Thread(okay, ich übertreibe (ein bisschen) ) weiß ich nicht mehr, worauf sich Deine Frage bezieht; und zudem wurde doch bei jeder Nachfrage eigtl. auch geklärt, was nicht stimmt (wenn da noch etwas unklar ist, dann frage nochmal konkret, was und wieso Dir das unklar ist).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
