Beweis Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 09.10.2007 | | Autor: | quest |
| Aufgabe | Sei K := [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ. [/mm] Definiere für (a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] K eine Relation ~ durch:
(a,b) ~ (c,d): <=>: ad = bc
a) Ist ~ auf K eine Äquivalenzrelation?
b) Zeige, dass ~ eine Äquivalenzrelation auf K* := [mm] \IZ [/mm] x [mm] (\IZ [/mm] \ {0}= ist. |
Hallo an alle,
ich bin im ersten Semester und besuche eine Lineare Algebra Vorlesung, die Aufgabe da versteh ich aber nicht so ganz...
Allein von der Aufgabenstellung würde ich mal vermuten, dass ~ auf K keine Äquivalenzrelation ist, weil sie das ja auf K* ist.
Der Knackpunkt ist die Null. Um zu zeigen, dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, müssen doch m.E. drei Dinge gezeigt werden.
(a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] K
1) Reflexivität: d.h. (a,b) ~ (a,b), hier ist das ja relativ klar: ab = ba stimmt.
2) Symmetrie: (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (a,b),
das ist wohl auch noch klar:
ad = cd [mm] \gdw [/mm] cd = da
[mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) ~ (c,d) und (c,d) ~ (a,b
3) Transitivität, d.h. ich habe (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] K und es ist (a,b) ~ (c,d), (c,d) ~ (e,f),
die Frage ist, ob ich daraus folgern kann, dass:
(a,b) ~ (e,f).
Ich hab so die vage Vermutung, dass hier die Null ins Spiel kommt, aber ich steh da aufm Schlauch.
Ich weiß also:
cf = de und ad = bc,
wenn jetzt z.B. b = 0 ist, dann ist auf K also ad = 0, d.h. entweder a oder d sind 0, d.h. im Falle a [mm] \not= [/mm] 0 und d = 0 ist dann:
cf = de = 0, wenn c = 0 oder f = 0 und dann hätte ich ja Transitivität, da (a,b) ~ (e,f), da a f = be = 0.
Es kann sein, dass ich das hier irgendwie total versemmele, ich weiß auch gar nicht, ob ich das nun so richtig verstanden habe -- also was will mir die Relation denn konkret sagen?
Vielen dank für eure Hilfe,
quest
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo quest,
das ist doch schon mal super,
bei der Transitivität hast du doch auch schon den richtigen "Riecher".
Spinne das ein wenig weiter und du hast es.
Wir müssen also ein Gegenbsp. basteln, der Hinweis in der Aufgabenstellung lässt in der Tat "etwas mit $(0,0)$ " vermuten
Was, wenn $(c,d)=(0,0)$ ist, $(a,b)=(2,0)$ und $(e,f)=(1,1)$
Dann ist [mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d)$, denn [mm] $2\cdot{}0=0\cdot{}0$
[/mm]
und [mm] $(c,d)\sim [/mm] (e,f)$, denn [mm] $0\cdot{}1=0\cdot{}1$
[/mm]
Was ist dann mit $(a,b)$ und $(e,f)$
Stehen die in Relation zueinander?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Mi 10.10.2007 | | Autor: | quest |
Hallo schachuzipus,
wow das ging ja schnell mit der Antwort!
Nun...ich glaub ich seh in welche Richtung das geht.
Bei a) finde ich eben diese Widerspruch wo die Transitivität nicht erfüllt ist. Dazu betrachte als Beispiel (c,d)=(0,0), (a,b)=(2,0) und (e,f)=(1,1)
Dann ist (a,b) ~ (c,d), da (2 * 0) = 0 * 0
desweiteren ist (c,d) ~ (e,f), da 0*1 = 1*0
wenn Transitivität gelten würde, müsste jetzt (a,b) ~ (e,f), es ist aber: 2* 1 = 0*1 [mm] \not= [/mm] 0 und damit Widerspruch.
Zu b) muss ich ja dann konkret den Beweis führen, also das die Relation aber auf K* eine Äquivalenzrelation ist. Ich glaube die ersten beiden Teile müssten so stimmen, da ja eigentlich der Knackpunkt die Transitivität ist.
Zur Transitivität also nochmal allgemein: (a,b) ~ (c,d) , (c,d) ~ (e,f) wobei eben da wir auf K* sind b,d,f [mm] \not= [/mm] 0.
(a,b) ~ (c,d): [mm] \gdw [/mm] ad = bc
(c,d) ~ (e,f): [mm] \gdw [/mm] cf = de
[mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] \bruch{de}{f} [/mm] (möglich, da stets f [mm] \not= [/mm] 0)
[mm] \Rightarrow [/mm] ad = b [mm] \bruch{de}{f} [/mm] (division durch d möglich, da stets d [mm] \not= [/mm] 0)
[mm] \Rightarrow [/mm] af = be
[mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) ~(e,f)
D.h. Transitivität gilt ebenfalls. Jetzt meine ich auch zu sehen wo ich oben gehangen habe, da ich die Transitivität nur herstellen kann, wenn ich sicher weiß, das das f im Nenner [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Was meinst du dazu?
Vielen dank für deine super Hilfe,
grüße quest
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Hallo quest,
> Hallo schachuzipus,
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> wow das ging ja schnell mit der Antwort!
>
> Nun...ich glaub ich seh in welche Richtung das geht.
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> Bei a) finde ich eben diese Widerspruch wo die
> Transitivität nicht erfüllt ist. Dazu betrachte als
> Beispiel (c,d)=(0,0), (a,b)=(2,0) und (e,f)=(1,1)
>
> Dann ist (a,b) ~ (c,d), da (2 * 0) = 0 * 0
> desweiteren ist (c,d) ~ (e,f), da 0*1 = 1*0
>
> wenn Transitivität gelten würde, müsste jetzt (a,b) ~
> (e,f), es ist aber: 2* 1 = 0*1 [mm]\not=[/mm] 0 und damit
> Widerspruch.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
ganz genau !
> Zu b) muss ich ja dann konkret den Beweis führen, also das
> die Relation aber auf K* eine Äquivalenzrelation ist. Ich
> glaube die ersten beiden Teile müssten so stimmen, da ja
> eigentlich der Knackpunkt die Transitivität ist.
>
> Zur Transitivität also nochmal allgemein: (a,b) ~ (c,d) ,
> (c,d) ~ (e,f) wobei eben da wir auf K* sind b,d,f [mm]\not=[/mm] 0.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es sind [mm] $(a,b),(c,d),(e,f)\neq [/mm] (0,0)$
dh. nicht jeweils beide Komponenten a und b = 0 bzw beide Koponenten c und d= 0 usw.
> (a,b) ~ (c,d): [mm]\gdw[/mm] ad = bc
> (c,d) ~ (e,f): [mm]\gdw[/mm] cf = de
> [mm]\Rightarrow[/mm] c = [mm]\bruch{de}{f}[/mm] (möglich, da stets f [mm]\not=[/mm]
> 0)
> [mm]\Rightarrow[/mm] ad = b [mm]\bruch{de}{f}[/mm] (division durch d
> möglich, da stets d [mm]\not=[/mm] 0)
> [mm]\Rightarrow[/mm] af = be
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) ~(e,f)
>
> D.h. Transitivität gilt ebenfalls. Jetzt meine ich auch zu
> sehen wo ich oben gehangen habe, da ich die Transitivität
> nur herstellen kann, wenn ich sicher weiß, das das f im
> Nenner [mm]\not=[/mm] 0 ist.
>
> Was meinst du dazu?
>
> Vielen dank für deine super Hilfe,
> grüße quest
Du brauchst m.E. ein paar mehr Fallunterscheidungen:
Betrachte mal folgende mögliche Fälle:
(1) $(c,d)=(c,0)$ mit [mm] c\neq [/mm] 0
Nun sei [mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \wedge (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
Wie müssen, $(a,b)$ und $(e,f)$ dann aussehen? Stehen sie in Relation zueinander?
(2) $(c,d)=(0,d)$ mit [mm] d\neq [/mm] 0
Wieder sei [mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \wedge (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
Und gilt dann [mm] $(a,b)\sim [/mm] (e,f)$ ?
Wie sehen dann wieder $(a,b)$ und $(e,f)$ aus? und stehen sie in Relation?
(3) der aufwendigere Fall:
Sei nun $(c,d)$ gegeben mit [mm] $c\neq 0\wedge d\neq0$
[/mm]
Wieder mit [mm] $(a,b)\sim (c,d)\wedge (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
Hier kannst du dann deinen Ansatz mal verwenden, du darfst sowohl durch c als auch durch d teilen.
Versuche nun mal zu schließen, wieso nun wohl [mm] $(a,b)\sim [/mm] (e,f)$ gilt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Mi 10.10.2007 | | Autor: | quest |
Hallo schachuzipus,
ich weiß jetzt nicht, ob ich da was nicht richtig verstanden habe, aber ich muss ja in Teil (a) nur zeigen, dass das eben auf K = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] keine Äquivalenzrelation ist. Und da haben wir ja den Widerspruch mit dem Beispiel bei der Transitivität.
In b) betrachte ich K* = [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ/(\{0\}), [/mm] das bedeutet doch mit diesen Quantoren: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] K* , b [mm] \not= [/mm] 0.
Deswegen wenn ich die Transitivität zu zeigen habe, weiß ich, dass für (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] K* stets b,d,f [mm] \not= [/mm] 0.
D.h. ich muss doch zumindest den Fall (1) nicht bearbeiten, da er ja gar nicht auftreten kann unter K*.
Fall (1) $(c,d)=(c,0)$ mit [mm] c\neq [/mm] 0
Fall (2) $(c,d)=(0,d)$ mit [mm] d\neq [/mm] 0 , das wäre möglich, aber hier ist ja voraussgesetzt $(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)$, d.h. ad = bc = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = 0 (da b [mm] \not= [/mm] 0).
Weiter ist $(c,d) [mm] \sim [/mm] (e,f)$ [mm] \Rightarrow [/mm] cf = de, d.h. hier wäre ja c=0, d.h. 0 = de [mm] \Rightarrow [/mm] e = 0 (da d [mm] \not= [/mm] 0)
und dann hätte ich doch transitivität, da $(a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)$, wobei ich ja jetzt weiß, das (a,b) = (0,b) (b [mm] \not= [/mm] 0) und (e,f) = (0,f) (f [mm] \not= [/mm] 0) und damit folgt $(a,b) [mm] \sim [/mm] (e,f)$, da af = be = 0.
(3) der aufwändigere Fall:
Sei nun $(c,d)$ gegeben mit [mm] $c\neq 0\wedge d\neq0$ [/mm]
Wieder mit [mm] $(a,b)\sim (c,d)\wedge (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
Das kann ich wie vorhin machen, da ich nun doch durch alles teilen darf?
Vielleicht hab ich oben kurz Verwirrung gestiftet mit dem K und dem K*.
Vielen dank aber schon mal für deine Hilfe, echt super!
grüße
quest
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> ich weiß jetzt nicht, ob ich da was nicht richtig
> verstanden habe, aber ich muss ja in Teil (a) nur zeigen,
> dass das eben auf K = [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] keine Äquivalenzrelation
> ist. Und da haben wir ja den Widerspruch mit dem Beispiel
> bei der Transitivität.
ja, den Widerspruch hatten wir 
>
> In b) betrachte ich K* = [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ/(\{0\}),[/mm] das bedeutet
> doch mit diesen Quantoren: [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] K* , b [mm]\not=[/mm]
> 0.
>
> Deswegen wenn ich die Transitivität zu zeigen habe, weiß
> ich, dass für (a,b), (c,d), (e,f) [mm]\in[/mm] K* stets b,d,f [mm]\not=[/mm]
> 0.
>
> D.h. ich muss doch zumindest den Fall (1) nicht bearbeiten,
> da er ja gar nicht auftreten kann unter K*.
>
>
> Fall (1) [mm](c,d)=(c,0)[/mm] mit [mm]c\neq[/mm] 0
>
> Fall (2) [mm](c,d)=(0,d)[/mm] mit [mm]d\neq[/mm] 0 , das wäre möglich, aber
> hier ist ja voraussgesetzt [mm](a,b) \sim (c,d)[/mm], d.h. ad = bc =
> 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a = 0 (da b [mm]\not=[/mm] 0).
>
> Weiter ist [mm](c,d) \sim (e,f)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] cf = de, d.h. hier
> wäre ja c=0, d.h. 0 = de [mm]\Rightarrow[/mm] e = 0 (da d [mm]\not=[/mm] 0)
>
> und dann hätte ich doch transitivität, da [mm](a,b) \sim (e,f)[/mm],
> wobei ich ja jetzt weiß, das (a,b) = (0,b) (b [mm]\not=[/mm] 0) und
> (e,f) = (0,f) (f [mm]\not=[/mm] 0) und damit folgt [mm](a,b) \sim (e,f)[/mm],
> da af = be = 0.
>
> (3) der aufwändigere Fall:
>
> Sei nun [mm](c,d)[/mm] gegeben mit [mm]c\neq 0\wedge d\neq0[/mm]
>
> Wieder mit [mm](a,b)\sim (c,d)\wedge (c,d)\sim (e,f)[/mm]
>
> Das kann ich wie vorhin machen, da ich nun doch durch alles
> teilen darf?
>
> Vielleicht hab ich oben kurz Verwirrung gestiftet mit dem K
> und dem K*.
Nein, ich bin des Lesens nicht mächtig und war - natürlich ohne mir die Definition von K* nochmal anzugucken ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") -
davon ausgegangen, dass [mm] K*=$(\IZ\times\IZ)\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] ist ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Aber es ist ja nur jeweils die 2te Komponente [mm] \neq [/mm] 0
Dann ist deine Begrüngung im zweiten post natürlich vollkommen i.O. und ausreichend
>
> Vielen dank aber schon mal für deine Hilfe, echt super!
>
> grüße
> quest
>
Lieben Gruß zurück
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") schachuzipus
Vllt. hat es ja so auch ein Gutes, auf [mm] $(\IZ\times\IZ)\backslash\{(0,0)\}$ [/mm] ist die Relation jedenfalls auch transitiv ![[tolltroll]](/images/smileys/tolltroll.gif "[tolltroll]")
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