Beweis Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:28 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Kate-Mary |
| Aufgabe | i) Zeige, dass die Relation R [mm] \subset (\IN \times \IN) \times (\IN \times \IN)
[/mm]
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] ad = bc eine Äquivalenzrelation ist. (Die Tatsache, dass aus nx = ny für natürliche Zahlen n; x; y bereits x = y folgt, darf ohne Beweis verwendet werden.)
ii) Das Multiplizieren beider Einträge eines Paares mit einer natürlichen Zahl nennt man erweitern. Zeige, dass zwei Paare genau dann äquivalent sind, wenn sie sich auf dasselbe Paar erweitern lassen.
Zeige also: (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) genau dann, wenn es ein drittes Paar (e,f) [mm] \in \IN [/mm] und n,m [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass (na,nb) = (e,f) = (mc,md).
iii) Seien [mm] \alpha, \beta [/mm] kommensurable Strecken und (a b) ein Teilverhältnis von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Begründe, warum (c,d) [mm] \in [/mm] TV ( [mm] \alpha, \beta [/mm] ) genau dann, wenn
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) gilt. |
Also wenn mir jemand bei der ersten Aufgabe helfen könnte, wär ich sehr dankbar. Den Rest könnte ich dann wahrscheinlich hinbekommen....
Für die Äquivalenzrelation müsste ich ja eigentlich nur die Reflexivität, die Symmetrie und die Transitivität beweisen.
Ich hab bis jetzt folgendes:
i) Symmetrie: (b,a) [mm] \sim [/mm] (d,c) [mm] \gdw [/mm] bc=ad
[mm] \to [/mm] bc=ad [mm] \gdw [/mm] ad=bc
Für die Teansitivität und die Reflexivität hab ich irgendwie keine Idee....und reicht das obere als Beweis für die Symmetrie??
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mo 08.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib bitte erst mal auf was Symmetrie,Transitivität und Reflexivität genau bedeutet. erst danach rechne das einfach aus.
IMMER mit dem Hinschreiben der Axiome anfangen und was sie für die spezielle Relation fordern. dann ist man mehr als zur Hälfte fertig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okay...danke für den Tipp, dass man am Besten immer erst aufschreibt, was die einzelnen Axiome besagen...
Aber ich komm leider immer noch nicht weiter, auch wenn ich das aufschreibe...ich steh irgendwie total auf der Leitung :(
Wir haben die Eigenschaften folgendermaßen definiert (macht aber wahrscheinlich eh jeder gleich...):
Symmetrie: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt symmetrisch [mm] \gdw \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R ist auch (b,a) [mm] \in [/mm] R.
Reflexivität: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt reflexiv, genau dann, [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : (a,a) [mm] \in [/mm] R.
Transitivität: Eine homogene Relation R [mm] \subset [/mm] A [mm] \times [/mm] B heißt transitiv, genau dann, [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] R und [mm] \forall [/mm] (b,c) [mm] \in [/mm] R : (a,c) [mm] \in [/mm] R.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Di 09.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest doch die Axiome auf den Fall anwenden!
dein A ist [mm] \IN\times \IN, [/mm] und B=A
dein a=(a,b) dein b (c,d) also
> Okay...danke für den Tipp, dass man am Besten immer erst
> aufschreibt, was die einzelnen Axiome besagen...
>
> Aber ich komm leider immer noch nicht weiter, auch wenn ich
> das aufschreibe...ich steh irgendwie total auf der Leitung
> :(
>
> Wir haben die Eigenschaften folgendermaßen definiert
> (macht aber wahrscheinlich eh jeder gleich...):
>
> Symmetrie: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt symmetrisch [mm]\gdw \forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] R ist auch (b,a)
> [mm]\in[/mm] R.
also (ab),(cd) aus R dann auch (c,d) (a,b)
d.h. wenn gilt ad=bc dann auch cb=da
und das gilt für [mm] a,b,c,d\in \IN [/mm] (ich denk ihr hattet das Kommutativgesetz in [mm] \IN?
[/mm]
> Reflexivität: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt reflexiv, genau dann, [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A : (a,a) [mm]\in[/mm]
> R.
also für alle (a,b) aus R
gilt (a,b),(a,b) aus R d.h. ....
so weitermachen, dann ist es ganz einfach
> Transitivität: Eine homogene Relation R [mm]\subset[/mm] A [mm]\times[/mm] B
> heißt transitiv, genau dann, [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] R und
> [mm]\forall[/mm] (b,c) [mm]\in[/mm] R : (a,c) [mm]\in[/mm] R.
übersetzt: (ab),(cd) in R und (cd),(ef) in R dann auch (ab),(ef)
jetzt nachweisen
d.h. du hast das wichtigste vergessen, das auf die vorgegebene Relation angewendet hinzuschreiben, also die klarzumachen, was dein a und b ist und was die Relation sagt.
(zur Vorstellung: wenn du dir (a,b) als Bruch a/b vorstellst ist a/b=c/d genau wenn ad=bc d,h, Brüche sind äquivalent wenn Zähler *Nenner =Zähler*Nenner 1/2=4/8 denn 1*8=2*4)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Di 09.11.2010 | | Autor: | Kate-Mary |
DANKE!!!
Wenn ich mir dass so anschaue war das ja wirklich relativ einfach....muss wohl wirklich ziemlich auf'm Schlauch gestanden sein...hab das ganze Wochenende drüber nachgedacht....
|
|
|
|
