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Forum "Folgen und Reihen" - Beweis auf Konvergenz
Beweis auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis auf Konvergenz: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:11 Do 11.08.2016
Autor: EnniHH

Aufgabe
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] a_n\in\IZ [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] genau dann gegen a konvergent ist, wenn es einen Index [mm] n_0 [/mm] so gibt, dass [mm] a_n=a [/mm] für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] ist.

Wir nehmen zunächst an, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen a konvergiert. Wir zeigen zunächst, dass a [mm] \in [/mm] Z
gelten muss. Angenommen, es ist a [mm] \notin [/mm] Z. Sei [mm] a'\in\IZ, [/mm] sodass |a'− a| = d minimal ist. Nach
Annahme ist d > 0. Sei 0 < ε < d. Dann gibt es kein n ∈ N mit [mm] |a_n [/mm] − a| < ε, die Folge kann also nicht gegen a konvergieren.

Das ist ein Teil der Musterlösung, die in den Übungen einer Analysis 1 Vorlesung zu der oben gestellten Aufgabe ausgeteilt wurde.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.Moin zusammen,

ich habe jetzt folgende Unklarheiten:
den Teil der Lösung "Wir zeigen zunächst, dass a [mm] \in [/mm] Z gelten muss. Angenommen, es ist a [mm] \notin [/mm] Z. Sei [mm] a'\in\IZ, [/mm] sodass |a'− a| = d minimal ist. Nach Annahme ist d > 0. Sei 0 < ε < d. Dann gibt es kein n ∈ N mit [mm] |a_n [/mm] − a| < ε, die Folge kann also nicht gegen a konvergieren." kann ich nicht so ganz nachvollziehen. Zum einen ist mir nicht ganz klar warum überhaupt gezeigt werden muss, dass [mm] a\in\IZ [/mm] sein muss und dann auch nicht wie dessen Beweis geführt wird. Wie ist denn insbesondere der Teil |a'− a| = d minimal zu verstehen?

Besten Dank für einen ersten Denkanstoß

Gruß
enni

        
Bezug
Beweis auf Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:05 Fr 12.08.2016
Autor: leduart

Hallo
a' ist der mögliche GW der nicht in [mm] \IZ [/mm] liegt. dann hat er von allen ganzen Zahlen einen Abstand ungleich 0, du nimmst den kleinsten von denen, also die ganze Zahl a, die am nächsten bei a' liegt.
Bsp a'=7,983 dann ist d=|8-7,983|=0,017 usw.
dass a us [mm] \IZ [/mm] sein muss musst du beweisen, weil wenn etwa alle [mm] a_n \in \IQ [/mm] der GW ja nicht in [mm] \IQ [/mm] liegen muss sondern in [mm] \IR [/mm] liegen kann. Es scheint ja beinahe trivial, aber der Beweis ist ja auch kurz, und zeigt genau, was du vielleicht denkst, dass eben eine nicht ganze Zahl immer einen angebbaren Abstand zu allen nicht ganzen Zahlen hat.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Beweis auf Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Fr 12.08.2016
Autor: fred97


> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge mit [mm]a_n\in\IZ[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> Beweisen Sie, dass [mm](a_n)[/mm] genau dann gegen a konvergent ist,
> wenn es einen Index [mm]n_0[/mm] so gibt, dass [mm]a_n=a[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
> ist.
>  Wir nehmen zunächst an, dass [mm](a_n)[/mm] gegen a konvergiert.
> Wir zeigen zunächst, dass a [mm]\in[/mm] Z
>  gelten muss. Angenommen, es ist a [mm]\notin[/mm] Z. Sei [mm]a'\in\IZ,[/mm]
> sodass |a'− a| = d minimal ist. Nach
>  Annahme ist d > 0. Sei 0 < ε < d. Dann gibt es kein n ∈

> N mit [mm]|a_n[/mm] − a| < ε, die Folge kann also nicht gegen a
> konvergieren.
>  
> Das ist ein Teil der Musterlösung, die in den Übungen
> einer Analysis 1 Vorlesung zu der oben gestellten Aufgabe
> ausgeteilt wurde.
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.Moin zusammen,
>  
> ich habe jetzt folgende Unklarheiten:
>  den Teil der Lösung "Wir zeigen zunächst, dass a [mm]\in[/mm] Z
> gelten muss. Angenommen, es ist a [mm]\notin[/mm] Z. Sei [mm]a'\in\IZ,[/mm]
> sodass |a'− a| = d minimal ist. Nach Annahme ist d > 0.
> Sei 0 < ε < d. Dann gibt es kein n ∈ N mit [mm]|a_n[/mm] − a| <
> ε, die Folge kann also nicht gegen a konvergieren." kann
> ich nicht so ganz nachvollziehen. Zum einen ist mir nicht
> ganz klar warum überhaupt gezeigt werden muss, dass
> [mm]a\in\IZ[/mm] sein muss und dann auch nicht wie dessen Beweis
> geführt wird. Wie ist denn insbesondere der Teil |a'− a|
> = d minimal zu verstehen?
>  
> Besten Dank für einen ersten Denkanstoß

Zunächst einige Bemerkungen:

1. Meine Vorrednerin Leduart hat (leider) die Rollen von a und a' vertauscht.

2. Die Musterlösung des Musterlösers ist großkotzig kurz gefasst. Dem Musterlöser scheint es schnuppe zu sein, dass Anfängern die " [mm] \epsilon [/mm] - [mm] n_0 [/mm] " - Geschichte große Schwierigleiten machen kann. Die Musterlösung ist in meinen Augen alles andere als "anfängergerecht".

Zum obigen Beweis: wenn man animmt, dass a [mm] \notin \IZ [/mm] ist, so setzen wir für b [mm] \in \IZ [/mm]

  $d(b):=|b-a|$,

dann besteht die Menge

   [mm] M:=\{d(b): b \in \IZ\} [/mm]

aus positiven Zahlen. Die Menge M hat ein Minimum (warum ?). Somit gibt es ein $a' [mm] \in \IZ$ [/mm] mit

  (1)   d(a') [mm] \le [/mm] d(b) für alle b [mm] \in \IZ. [/mm]

(Ein solches a' ist i.a. nicht eindeutig bestimmt; ist z.B. [mm] a=\bruch{1}{2}, [/mm] so leisten a'=0 und auch a'=1 das Gewünschte).

Dann ist obiges d=d(a')>0.

Das war mit "|a'− a| = d minimal" gemeint.

Wegen [mm] a_n \in \IZ [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] haben wir [mm] d(a_n)=|a_n-a| \in [/mm] M, also folgt mit (1)

   (2) 0<d [mm] \le |a_n-a| [/mm] für alle n.

Ist dann [mm] 0<\epsilon [/mm] <d, so kann  [mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für kein n richtig sein (anderenfalls hätten bekämen wir mit (2): d< [mm] \epsilon [/mm] ).


So stelle ich mir eine anfängergerechte Lösung vor, wenn man das Ganze unbedingt mit einem Widerspruchsbeweis erledigen will, was ich nicht will, denn es geht auch direkt, kürzer und übersichtlicher:

Dazu benötigen wir zunächst:

   sind k,m [mm] \in \IZ [/mm] und ist k [mm] \ne [/mm] m, so ist |k-m| [mm] \ge [/mm] 1.

Oder anders ausgedrückt:

  (3)  sind k,m [mm] \in \IZ [/mm] und ist |k-m| < 1, so ist k=m.


Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist also konvergent, somit eine Cauchy-Folge. Daher gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit

     [mm] |a_n-a_m|<1 [/mm]  für alle n,m [mm] \ge n_0. [/mm]

Insbesondere

     [mm] |a_n-a_{n_0}|<1 [/mm]  für alle n [mm] \ge n_0. [/mm]

Aus (3) erhalten wir:  [mm] a_n=a_{n_0} [/mm]  für alle n [mm] \ge n_0. [/mm]

Somit ist [mm] a=a_{n_0} [/mm] und damit [mm] a_n=a [/mm]  für alle n [mm] \ge n_0. [/mm]

Wir sehen: man muss nicht zeigen, dass a [mm] \in \IZ [/mm] ist, das fällt als Nebenprodukt ab.

Gruß FRED

>
> Gruß
>  enni


Bezug
        
Bezug
Beweis auf Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Fr 12.08.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]
Ich möchte als drittes noch eine Beweisvariante vorschlagen, die ich in gewisser Weise für einfacher und die Beweisidee für "typischer" als die Musterlösung halte. Daher kannst Du dies auch ignorieren. Die Idee dahinter ist das Konvergenzkriterium von Cauchy, falls Du es schon kennengelernt haben solltest.

Es sei also [mm] $(a_{n})$ [/mm] eine konvergente Folge ganzer Zahlen. Es sei [mm] $a\in \IR$ [/mm] ihr Grenzwert. Ich möchte nun zeigen, dass der Unterschied der Folgeglieder [mm] $|a_{n}-a_{m}|$ [/mm] ab einen gewissen Index kleiner als $1$ ist. Da als Folgeglieder nur ganze Zahlen auftreten, müssen diese dann ab diesem Index gleich sein; natürlich ist das dann auch der Grenzwert.

Zum eigentlichen Beweis.
Als erstes nutze ich eine produktive Null:

[mm] $|a_{n}-a_{m}|= |a_{n}-a+a-a_{m}|$. [/mm]

Nun kommt die Dreiecksungeichung:

[mm] $|a_{n}-a+a-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a-a_{m}|$ [/mm]

Wir haben $a$ als Grenzwert der Folge gewählt. Daher gibt zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] einen Index [mm] $k_{0}$ [/mm] so, dass [mm] $|a_{k}-a|<\varepsilon$ [/mm] ist und zwar für alle [mm] $k>k_{0}$. [/mm]

Dies hat für die rechte Seite der obigen Ungleichung zur Folge, dass, wenn beiderseits [mm] $n,m>k_{0}$ [/mm] sind, dann

[mm] $|a_{n}-a|+|a-a_{m}|<2\varepsilon= [/mm] 1$

gilt. Insgesamt erhält man durch Zusammenfassen der Ungleichungskette

[mm] $|a_{n}-a_{m}|<1$, [/mm] wenn [mm] $m,n>k_{0}$ [/mm] sind.

Wie gesagt, da es sich um ganze Zahlen handelt, folgt [mm] $a_{n}= a_{m}$ [/mm] für alle [mm] $m,n>k_{0}$. [/mm]

Es wäre keine schlechte Übung nun noch zu beweisen, dass wenn [mm] $(a_{n})$ [/mm] eine Folge reeller Zahlen ist, sodass die Folge ab einem gewissen Index konstant ist (kurz: es gibt ein [mm] $k_{0}$ [/mm] so, dass [mm] $a_{n}= a_{m}=:a'$ [/mm] für alle [mm] $n,m>k_{0}$ [/mm] gilt), dass die Folge dann konvergent ist und ihr Grenzwert ist $=a'$ ist. Der Beweis geht sehr schön direkt mit dem [mm] $\varepsilon-n_{0}$-Kriterium. [/mm]



Bezug
        
Bezug
Beweis auf Konvergenz: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Do 18.08.2016
Autor: EnniHH

Vielen herzlichen Dank für zahlreichen Anregungen!

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