Beweis (aus Diff folgt Stetig) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen und mein größtes Problem dabei besteht, dass ich nicht wirklich nachvollziehen kann ( habe nur eine Vermutung ) warum man diesen Ansatz gewählt hat....
Satz: .
Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist f in [mm] x_0 [/mm] stetig!
Beweis :
Es gibt ein [mm] \delta > 0 [/mm], so dass [mm] \forall \ x \ne x_0 [/mm] im
Definitionsbereich von f mit [mm] \left| x - x_0 \right| < \delta [/mm] gilt:
[mm] \left| \bruch{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0 } - f'( x_0 ) \right| < 1 [/mm] (+)
( 1. Zwischenfrage :
Sehe ich das richtig, wenn ich sage, dass hier nicht einfach die Definition der Stetikeit benutzt wird, sondern der folgende Sachverhalt:
Sei [mm] f: D \to \mathbb R [/mm] eine Funktion, [mm] x_0 \in D [/mm].
Dann sind äquivalent:
a) f ist stetig in [mm] x_0 [/mm].
b) [mm] \limes_{x \to x_0 } f(x) = f(x_0 ) [/mm]
????
2. Zwischenfrage :
Falls das stimmt, dann verstehe ich auch nicht wirklich, dass man (+) dafür benutzen darf, )
Nun weiter mit dem Beweis  ....
[mm]
\rightarrow \left| \bruch{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0 } \right| < 1 + \left| f'( x_0 ) \right| =: C [/mm]
[mm] \rightarrow \left| f(x) - f(x_0) \right| < C \cdot \left| x - x_0 \right| [/mm]
Also [mm] \limes_{ x \to x_0 } \left| f(x) - f( x_0 ) \right| = 0 [/mm].
Daher ist [mm] \limes_{x \to \x_0 } f(x) = f(x_0 ) [/mm], und f ist stetig in [mm] x_0 [/mm].
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 21.04.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo
Ich glaube am einfachsten zeigt man das so:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Das Impliziert weil der nenner gegen null geht dass auch der zähler gegen null
geht also:
[mm] \limes_{h \rightarrow 0} f(x_0+h)-f(x_0) [/mm] = 0 oder
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0} f(x)-f(x_0) [/mm] = 0
das heißt
[mm] \limes_{x \rightarrow x_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0) [/mm]
und das ist die Stetigkeit.
Lg Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Tag alle zusammen!
>
> Ich versuche gerade einen Beweis zu verstehen und mein
> größtes Problem dabei besteht, dass ich nicht wirklich
> nachvollziehen kann ( habe nur eine Vermutung ) warum man
> diesen Ansatz gewählt hat....
>
> Satz: .
>
> Ist f in [mm]x_0[/mm] differenzierbar, so ist f in [mm]x_0 [/mm] stetig!
>
> Beweis :
>
> Es gibt ein [mm]\delta > 0 [/mm], so dass [mm]\forall \ x \ne x_0[/mm] im
> Definitionsbereich von f mit [mm]\left| x - x_0 \right| < \delta[/mm]
> gilt:
>
> [mm]\left| \bruch{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0 } - f'( x_0 ) \right| < 1[/mm]
> (+)
>
> ( 1. Zwischenfrage :
> Sehe ich das richtig, wenn ich sage, dass hier nicht
> einfach die Definition der Stetikeit benutzt wird, sondern
> der folgende Sachverhalt:
>
> Sei [mm]f: D \to \mathbb R[/mm] eine Funktion, [mm]x_0 \in D [/mm].
> Dann
> sind äquivalent:
> a) f ist stetig in [mm]x_0 [/mm].
> b) [mm]\limes_{x \to x_0 } f(x) = f(x_0 )[/mm]
>
> ????
nein, das wird keineswegs benutzt. Zudem darf man ja nichts benutzen, was man zeigen soll. (Oder meintest Du, dass man darauf hinaus will, das zu benutzen?)
Dort wird benutzt (bei dem Symbol [mm] $\lim_{x \to x_0}$ [/mm] soll stets $x [mm] \not=x_0$ [/mm] enthalten sein):
Weil $f$ diff'bar an [mm] $x_0$ [/mm] ist, existiert [mm] $f\,'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. [/mm] Letzteres bedeutet:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0$:
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \not=x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $\left|f\,'(x_0)-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
(Anmerkung: Das ist einfach die Definition von [mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] g(x)$:
Man sagt (z.B. für $g: [mm] \IR \to \IR$):
[/mm]
[mm] $\lim_{x \to x_0} [/mm] g(x)$ existiert, wenn gilt:
[mm] $\exists [/mm] G [mm] \in \IR$ [/mm] (und schreibt dann [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x):=G$, [/mm] weil dieser dann eindeutig bestimmt ist!) so, dass:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0$: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \not=x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von $g$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt:
$|g(x)-G| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
(bzw.: [mm] $|g(x)-\lim_{x \to x_0}g(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] wobei man das aber nur hinschreiben kann, wenn man die Existenz dieses $G$ nachgewiesen hat!)
Bei Dir oben ist einfach [mm] $G=f\,'(x_0)$ [/mm] und [mm] $g(x):=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] für $x [mm] \not=x_0$ [/mm] zu betrachten.)
Da dies für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, gilt dies insbesondere für [mm] $\varepsilon:=1 [/mm] > 0$:
Für [mm] $\varepsilon=1 [/mm] > 0$ gilt: Es existiert ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \not=x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt:
[mm] $\left|f\,'(x_0)-\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon=1$
[/mm]
P.S.:
Ist der Rest des Beweises dann klar? Dann hat man, dass für alle $x [mm] \not=x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] (das [mm] $\delta [/mm] > 0$, welches zu [mm] $\varepsilon=1$ [/mm] gewählt wurde) gilt:
[mm] $\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f\,'(x_0)\right|< [/mm] 1$
[mm] $\Rightarrow$ $\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|< 1+|f\,'(x_0)|$ [/mm] (Stichwort: Dreiecksungleichung)
Damit erfüllt insbesondere [mm] $C:=1+|f\,'(x_0)|$, [/mm] dass $0 < C < [mm] \infty$ [/mm] und daher folgt für alle $x [mm] \not=x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von $f$ mit [mm] $|x-x_0|< \delta$:
[/mm]
[mm] $(\star)$ $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] C*|x-x_0|$ [/mm] (beachte, dass das $C$ unabhängig von $x$ ist!)
Und jetzt kannst Du Deinen Satz hernehmen (Richtung $b) [mm] \Rightarrow [/mm] a)$):
Hieran erkennt man, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] und daher ist $f$ stetig in [mm] $x_0$.
[/mm]
(Wobei man das auch nicht braucht:
Ist nun nämlich [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so betrachtet man [mm] $\delta\,':=\min \left\{\delta,\frac{\varepsilon}{C}\right\}$, [/mm] wobei das [mm] $\delta [/mm] > 0$ weiterhin das von oben sei (beachte: [mm] $\delta\,'$ [/mm] ist wohldefiniert und es ist [mm] $\delta\,' [/mm] > 0$) . Für alle $x$ im Definitionsbereich von $f$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,'$ [/mm] folgt dann wegen [mm] $(\star)$, [/mm] dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] |x-x_0|*C [/mm] < [mm] \delta*C \le \varepsilon$.
[/mm]
(Genaugenommen folgt bei [mm] $(\star)$ [/mm] erstmal, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \not=x_0$ [/mm] und [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta\,' \le \delta$. [/mm] Aber auch für [mm] $x=x_0$ [/mm] ist [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:49 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Vielen lieben Dank für die Antworten!
Jetzt ist alles klar !
Viele Grüße Irmchen
|
|
|
|
