Beweis bei komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Maggons |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Eine komplexe Zahl z ist genau dann rein imaginär, wenn gilt
|z - 1 | = |z + 1| |
Hallo liebe Community!
Leider komme ich hier nicht wirklich auf einen grüßen Ast.
Um ehrlich zu sein ist für mich die Aufgabenstellung noch nicht mal ganz eindeutig:
Wenn ich mir das vorstellen handelt es sich um eine Zahl, die auf der y- Achse, also der imaginären Achse liegt.
Nun wird diese einmal um 1 nach rechts und das anderen mal um 1 nach links verschoben; es gilt zu zeigen, dass jeweils der gleiche Abstand zur Achse vorhanden ist ... ?
Wir hatten leider noch keine Schreibweise dergleichen; mir ist klar, dass |Z|, also der Betrag von Z, die Länge des Vektors ist, der auf die komplexe Zahl Z zeigt.
Soll also nun die Zahl selber verschoben sein (im kartesichen System), oder aber soll einfach der Wert um 1 vergrößert bzw. verringert sein?
Vorab habe ich versucht über die kartesiche Darstellung heranzugehen.
Falls ich dann einfach Variablen unter eine Wurzel schreibe und da mit hinzuaddieren bzw. abziehen arbeiten möchte, fehlt mir leider die Eindeutigkeit.
Es könnte ebensogut auch eine rein reelle Zahl sein, wenn man das ganze so angeht, habe ich das Gefühl.
Nächste Idee war das Betrachten in Polarkoordinaten.
x, also cos(a), würde wegfallen, falls die Zahl rein imaginär ist und sin(a) würde durch seine Eigenschaft, dass sie ungerade ist, in Summe +- 1 bilanziert das gleiche ergeben.
Aber so recht traue ich dem Ansatz leider auch nicht ......
Ich wäre sehr dankbar, falls mir jemand etwas zu meinen Gedanken sagen könnte und mir ggf. einen Hinweis zur weiteren Vorgehensweise liefern würde.
Vorab vielen Dank für jegliche Antworten
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum o.Ä. gestellt
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Hallo Maggons,
> Zeigen Sie:
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> Eine komplexe Zahl z ist genau dann rein imaginär, wenn
> gilt
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> |z - 1 | = |z + 1|
> Hallo liebe Community!
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> Leider komme ich hier nicht wirklich auf einen grüßen
> Ast.
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> Um ehrlich zu sein ist für mich die Aufgabenstellung noch
> nicht mal ganz eindeutig:
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> Wenn ich mir das vorstellen handelt es sich um eine Zahl,
> die auf der y- Achse, also der imaginären Achse liegt.
> Nun wird diese einmal um 1 nach rechts und das anderen mal
> um 1 nach links verschoben; es gilt zu zeigen, dass jeweils
> der gleiche Abstand zur Achse vorhanden ist ... ?
>
> Wir hatten leider noch keine Schreibweise dergleichen; mir
> ist klar, dass |Z|, also der Betrag von Z, die Länge des
> Vektors ist, der auf die komplexe Zahl Z zeigt.
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> Soll also nun die Zahl selber verschoben sein (im
> kartesichen System), oder aber soll einfach der Wert um 1
> vergrößert bzw. verringert sein?
>
> Vorab habe ich versucht über die kartesiche Darstellung
> heranzugehen.
> Falls ich dann einfach Variablen unter eine Wurzel
> schreibe und da mit hinzuaddieren bzw. abziehen arbeiten
> möchte, fehlt mir leider die Eindeutigkeit.
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> Es könnte ebensogut auch eine rein reelle Zahl sein, wenn
> man das ganze so angeht, habe ich das Gefühl.
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> Nächste Idee war das Betrachten in Polarkoordinaten.
> x, also cos(a), würde wegfallen, falls die Zahl rein
> imaginär ist und sin(a) würde durch seine Eigenschaft,
> dass sie ungerade ist, in Summe +- 1 bilanziert das gleiche
> ergeben.
>
> Aber so recht traue ich dem Ansatz leider auch nicht
> ......
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> Ich wäre sehr dankbar, falls mir jemand etwas zu meinen
> Gedanken sagen könnte und mir ggf. einen Hinweis zur
> weiteren Vorgehensweise liefern würde.
Puh, mache es ganz elementar:
[mm] $[\Rightarrow]$: [/mm] Sei [mm] $z\in\IC$ [/mm] rein imaginär, also $z=iy$ mit [mm] $y\in\IR$
[/mm]
Dann berechne $|z-1|$ und $|z+1|$ und überzeuge dich davon, dass beides gleich ist.
[mm] $[\Leftarrow]$: [/mm] Sei [mm] $z\in\IC, [/mm] z=x+iy$ mit $|z-1|=|z+1|$
Dh. [mm] $\sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
[/mm]
Nun folgere weiter, dass $x=0$ sein muss ...
>
>
> Vorab vielen Dank für jegliche Antworten
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Maggons
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum o.Ä. gestellt
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Vorab vielen Dank für deine Antwort.
Die Schlussfolgerung, dass man nicht zeigt, ob die Zahl rein imaginär oder rein reell ist, wenn man das mit der Abstandsberechnung macht, habe ich jetzt auch wieder ganze schnell verworfen.
Mein beweis wäre .... relativ naiv:
[mm] \sqrt{(x-1)^2+y^2}=\sqrt{(x+1)^2+y^2} [/mm] | ^² -1 -x² - 2x
-4x = 0
x= 0
Die Gleichungs ist nur erfüllt, falls der relle Teil wirklich 0 ist, also die komplexe Zahl rein imaginär ist.
Würde das als Beweis in diesem Fall bereits ausreichen ... ?
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maggons!
Das ist so absolut okay.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Maggons |
Hallo Loddar,
besten Dank für die Antwort.
Mit freundlichen Grüßen
Maggons
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