Beweis bei komplexer Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 01.11.2011 | | Autor: | Paschl |
| Aufgabe | Es sei [mm] z0\in\IC [/mm] gegeben mit [mm] \left| z0 \right|< [/mm] 1. Wir definieren eine Funktion:
[mm] w=w(z)=\bruch{z-z0}{z*\bar {z0} -1}
[/mm]
mit [mm] z\in\IC [/mm] und [mm] z*\bar{z0} \not=1
[/mm]
Zeigen sie: [mm] \left| z \right|<1<=>\left| w(z) \right|)<1. [/mm] Was bewirkt die Abbildung z->w(z)(geometrisch formuliert)?
Hinweis: Zeigen sie zuerst [mm] \left| (z*\bar {z0}-1) \right| ^2-\left| (z-z0) \right|^2= (1-\left| (z) \right| ^2)*(1-\left| (\bar {z0}) \right|^2) [/mm] |
Komm auf keinen Ansatz bei der Aufgabe ... weiß auch nich was es mir helfen soll das beim hinweis zu zeigen...
wäre echt toll wenn mir jemand ne relativ ausführliche antwort geeben könnte ... wäre um jeden Ansatz froh...hab noch nich sooo viel erfahrung mit dem rechnen von komplexen funktionen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wauwau |
[mm]\left|z*\bar {z_0}-1 \right| ^2-\left| z-z_0 \right|^2= (1-\left| z \right| ^2)*(1-\left|\bar {z_0} \right|^2)[/mm]
Wenn du das gezeigt hast, - hast du dochj? - betrachtest du die rechte Seite und die ist wegen $|z|<1$ und [mm] $|z_0|<1$ [/mm] natürlich >0
daher hast du
$0 < [mm] |z*\bar{z_0}-1|^2 [/mm] - [mm] |z-z_0|^2$
[/mm]
[mm] $|z-z_0|^2 [/mm] < [mm] |z*\bar{z_0}-1|^2 [/mm] $
[mm] $|\omega(z)|^2 [/mm] = [mm] \frac{|z-z_0|^2}{|z*\bar{z_0}-1|^2} [/mm] < 1$ q.e.d
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