Beweis d. vollständ. Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 09.11.2006 | | Autor: | Xnyzer |
| Aufgabe | | A(n): [mm] 2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+...+2^{n}=2^{n+1}-2 [/mm] |
Wie kann ich das obige durch vollständige Induktion beweisen?
Könnt ihr mir vielleicht die erste Zeile zum Berechnen angeben? Das ausrechnen kann ich dann selbst.
Danke!
--Komme alleinirgendwie nicht auf den Ansatz--
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 09.11.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Leider lässt sich hier nichts beweisen, weil die Aussage nämlich nicht stimmt!
Es versagt bereits der Induktionsanfang für n=0, das wäre nämlich auf der linken Seite
[mm] 2^{0}=1
[/mm]
und auf der rechten Seite
[mm] 2^{0+1}-2=0
[/mm]
was ja offensichtlich nicht das gleiche ist!
Was du vermutlich meinst ist
[mm] A(n)=2^{n+1}-1,
[/mm]
das lässt sich nämlich beweisen, und zwar so:
Der Induktionsanfang für n=0 wird wie oben gemacht, nur dass er hier passt! 
Dann setzt du vorraus, die Aussage gelte für alle [mm] $n\ge [/mm] 0$ und zeigst die Aussage für n+1...
Du sagst:
[mm] 2^{0}+2^{1}+2^{2}+...2^{n}+2^{n+1}=...
[/mm]
Jetzt kannst du auf die ersten n Summanden die Induktionsvorraussetzung anwenden, d.h. du kannst sagen, dass sich alles bis [mm] 2^{n} [/mm] schreiben lässt als [mm] 2^{n+1}-1. [/mm] Wenn du das gemacht hast kannst du umformen, bis dransteht [mm] ...=2^{n+2}-1=2^{n+1+1}-1, [/mm] was du ja haben wolltest!
Da du nur einen Ansatz wolltest hab ich dir noch genügend Spielraum zum Knobeln gelassen denke ich!
Wenns nicht klappt, einfach nochmal melden!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 09.11.2006 | | Autor: | Xnyzer |
Hey,
erst ma vielen Dank für die schnelle Antwort!
Leider komme ich nicht so ganz klar.
Ich habe das ma so aufgeschrieben (die reihe mit [mm] 2^1 [/mm] + [mm] 2^2 ...2^n), [/mm] aber ich weiß nicht so recht wieter. Ich verstehe nicht so recht wo da der Beweis ist und wo ich anfangen (darf) zu rechnen.
Wäre nett, denn du mit noch mal helfen könntest.
|
|
|
| |
|
Guten abend erstmal,
also
du zeigst die vollständige Induktion hier für die natürliche Zahlen [mm] \IN.
[/mm]
Jetzt sagt man muss man den Induktionsanfang machen!
I.A.: sei n = 0 (daher weil man es für das kleinste Element der [mm] \IN [/mm] zeigen
muss, dann kann man weitermachen
also: $ A(n) = [mm] 2^{n+1}-1 [/mm] $
oder $ [mm] \summe_{i=0}^{n}2^{n}=2^{n+1}-1 [/mm] $
so jetzt muss auf der linken seite der gleichung das gleiche herauskommen wie rechts,
siehe so: n ist ja 0
also $ [mm] 2^{0} [/mm] = 1 = [mm] 2^{0+1}-1 [/mm] = [mm] 2^{n+1}-1 [/mm] $
I.A. ist fertig
Jetzt der Induktionsschluss
I.A. n [mm] \in \IN [/mm] und es gelte: $ [mm] \summe_{i=0}^{n}2^{n}=2^{n+1}-1 [/mm] $
so also musst du zeigen dass,
$ [mm] \summe_{i=0}^{n+1}2^{n+1}= 2^{n+2}-1 [/mm] $
n+2 daher n+1+1 ja!
so
$ [mm] 2^{n+1}+ \summe_{i=0}^{n}2^{n} [/mm] $
statt $ [mm] \summe_{i=0}^{n}2^{n} [/mm] $ kann ich auch $ [mm] 2^{n+1}-1 [/mm] $ schreiben da ist ja gleich
$ [mm] 2^{n+1}+ 2^{n+1}-1 [/mm] $
mit ein bisschen rechnen kommt
$ [mm] 2^{n+2}-1 [/mm] $
heraus und das solltest du ja gerade zeigen, also bist du fertig
|
|
|
|
