Beweis das es obere Grenze gib < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Sa 12.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo,
ich hab im Text vergessen zu schreiben das ich beweisen soll das es eine obere Grenze gibt. Hier nochmal die ganze aufgabe:
"Benutzen Sie ihr Wissen über Potenzen um zu beweisen: Mit a = [mm] \wurzel{2} [/mm] haben die Zahlen x1 = a, x2 = [mm] a^a, [/mm] ... , xn+1 = a^xn eine gemeinsame obere Schranke."
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Wie viele andere Aufgaben bisher auch von Dir:
das Zauberwort lautet mal wieder vollständige Induktion. 
Zu zeigen: [mm] $x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Sa 12.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Kannst du mir die vollständige gleichung für den induktionsschritt geben? ich weis nicht wie man afängt. ich kann VI nur mit summen. Da ist das kein problem mehr für mich. links summe recht was anderes.. aber hier..
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Hallo MissYumi,
Vermutlich geht das hier doch mit der Induktion (oder aber ich sollte nicht so spät noch am PC sitzen... )
Der Induktionsanfang ist dir doch schon vorgegeben:
[mm] $x_1 [/mm] := a$
Angenommen es gelte [mm] $x_n \le [/mm] 2$.
Dann ist:
[mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] a^{x_n} \le a^2 [/mm] = 2$ nach Vorraussetzung...
Aber wie gesagt.... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gute Nacht.
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 13.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Damit komme ich nicht weiter sorry:(... was soll ich denn jetzt zeigen an dieser gleichung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 So 13.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Das war doch bereits der Induktionsschritt für die Behauptung: [mm] $x_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 2$ .
Damit ist auch der Beweis der oberen Schranke erbracht.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Ist es in diesem Fall eigentlich ein Problem, daß a irrational ist? Die vollständige Induktion funktioniert doch, soweit ich weiß, eher für natürliche Zahlen? Zwar ist das a hier bloß eine Konstante, aber wenn man die Rekursion "eine Zeit lang" fortsetzt entsteht eine irrationale (ja vermutlich sogar transzendente) Zahl: [mm] $\sqrt{2}^\sqrt{2}^\sqrt{2}\dotsb$. [/mm] Ich bin mir jetzt selbst nicht sicher, ob dann die Induktion greift... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") . Andererseits ist der Induktionsindex n natürlich... .
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ist es in diesem Fall eigentlich ein Problem, daß a
> irrational ist?
Lol  (Ich musste da einfach schmunzeln, sorry)
> Die vollständige Induktion funktioniert
> doch, soweit ich weiß, eher für natürliche Zahlen?
Wir induzieren ja auch über die [m]x_n[/m].
> Zwar ist
> das a hier bloß eine Konstante, aber wenn man die Rekursion
> "eine Zeit lang" fortsetzt entsteht eine irrationale (ja
> vermutlich sogar transzendente) Zahl:
> [mm]\sqrt{2}^\sqrt{2}^\sqrt{2}\dotsb[/mm].
Ja und? Zum einen: [m]\IQ[/m] liegt ja dicht in [m]\IR[/m] also findest du zu jeder rellen Zahl eine Folge, die dagegen konvergiert - zBDezimalbruchentwicklung und dann per Induktion ...
Zum anderen: was ist mit konstanten Folgen a la [m]\pi[/m] - die werden ja auch schnell transzendent. Da gibt es doch auch keine Probleme?
Im generellen kann man sagen: viele Sachen über Folgen kann man mit Induktion machen - aber es gibt natürlich viele (überabzählbar) viele Folgen in [m]\IR[/m].
Klarer?
SEcki
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Hallo SEcki,
> > Ist es in diesem Fall eigentlich ein Problem, daß a
> > irrational ist?
>
> Lol (Ich musste da einfach schmunzeln, sorry)
Nee, is' ok! (Mein erster Versuch für) Ana II liegt immerhin schon 3 Semester zurück. Seitdem habe ich eine Art "Neurose" gegenüber Analysis entwickelt ... .
> > Die vollständige Induktion funktioniert
> > doch, soweit ich weiß, eher für natürliche Zahlen?
>
> Wir induzieren ja auch über die [m]x_n[/m].
>
> > Zwar ist
> > das a hier bloß eine Konstante, aber wenn man die Rekursion
> > "eine Zeit lang" fortsetzt entsteht eine irrationale (ja
> > vermutlich sogar transzendente) Zahl:
> > [mm]\sqrt{2}^\sqrt{2}^\sqrt{2}\dotsb[/mm].
>
> Ja und? Zum einen: [m]\IQ[/m] liegt ja dicht in [m]\IR[/m] also findest
> du zu jeder rellen Zahl eine Folge, die dagegen konvergiert
> - zBDezimalbruchentwicklung und dann per Induktion ...
Aha... Und [mm] $x_n$ [/mm] war in diesem Fall so eine Folge. Ja ...
> Zum anderen: was ist mit konstanten Folgen a la [m]\pi[/m] - die
> werden ja auch schnell transzendent. Da gibt es doch auch
> keine Probleme?
Hmm, ja schon ...
> Im generellen kann man sagen: viele Sachen über Folgen kann
> man mit Induktion machen - aber es gibt natürlich viele
> (überabzählbar) viele Folgen in [m]\IR[/m].
Was ist denn z.B. mit der Folge
[mm] $x_n [/mm] := [mm] \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}$?
[/mm]
Kann man hier den wirklich allein mit vollständiger Induktion über $n$ die Abschätzung [mm] $x_n \le [/mm] e$ beweisen? (Ok, ich muß zugeben, daß ich den wirklichen Beweis jetzt auch nicht parat habe... .)
Und wozu braucht man dann das Limes-Kalkül (also [mm] $\lim_{n \to \infty}{\dotsb}$)? [/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Also, irgendwie bin ich im Moment leicht durcheinander ... (Nicht lachen! Vermutlich ist mein Unwissen eher "tragisch"...)
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]"){kind=small}
