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Forum "Zahlentheorie" - Beweis der Beträge von Mengen
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Beweis der Beträge von Mengen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Do 30.10.2014
Autor: anna_12

Aufgabe
Es seien A und B beliebige endliche Mengen. Beweise die Gleichung |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
(Hinweis: Sind M1 und M2 disjunkte Mengen, d.h. M1 ∩ M2 = ∅, so gilt |M1 ∪ M2| = |M1| + |M2|.)

Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht weiter.
Ich hab schon in sämtlichen Foren gesucht aber nichts passendes gefunden.
Bin um jede Antwort dankbar.
Liebe Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis der Beträge von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Do 30.10.2014
Autor: UniversellesObjekt

Wenn du erst die Elemente von $ A $ zählst und dann die Elemente von $ B $, dann hast du jedes Element aus $ [mm] A\cup [/mm] B $ mindestens einmal gezählt, aber die Elemente aus $ [mm] A\cap [/mm] B $ sogar doppelt. Das heißt [mm] $|A|+|B|=|A\setminus B|+2|A\cap B|+|B\setminus [/mm] A|$. Andererseits gilt $ [mm] A\cup [/mm] B [mm] =(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A)$ und die Zerlegung ist disjunkt. Wende hierauf den Hinweis an und folgere die Behauptung.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Beweis der Beträge von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 30.10.2014
Autor: Marcel

Hallo Anna,

> Es seien A und B beliebige endliche Mengen. Beweise die
> Gleichung |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
>  (Hinweis: Sind M1 und M2 disjunkte Mengen, d.h. M1 ∩ M2
> = ∅, so gilt |M1 ∪ M2| = |M1| + |M2|.)
>  Hallo,
>  ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht
> weiter.
>  Ich hab schon in sämtlichen Foren gesucht aber nichts
> passendes gefunden.
>  Bin um jede Antwort dankbar.
>  Liebe Grüße

wie habt ihr [mm] $|M|\,$ [/mm] definiert? Für endliches [mm] $M\,$ [/mm] habt ihr sicher eine Aussage
der Art, dass [mm] $|\varnothing|:=0$ [/mm] und

    [mm] $\varnothing \not=M$, [/mm] dann sagen wir

    $|M| < [mm] \infty$ :$\iff$ $\exists$ [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\exists$ [/mm] $f [mm] \colon \{1,...,n\} \to [/mm] M$ surjektiv

und dann:

Ist $M [mm] \not=\varnothing$ [/mm] mit $|M| < [mm] \infty\,,$ [/mm] so heißt das minimale $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass es ein surjektives
[mm] $f\,$ [/mm] wie oben gibt, die Anzahl der Elemente von [mm] $M\,$ [/mm] und wir schreiben dafür
dann

    [mm] $|M|:=n\,.$ [/mm]

(Das Ganze kann man schöner ausformulieren, ich habe es jetzt mal ein
wenig *hingeschludert*.)

Übrigens kann man dann auch charakerisieren (für $M [mm] \not=\varnothing$): [/mm]

    [mm] $|M|=n\,$ $\iff$ $\exists$ [/mm] $f [mm] \colon \{1,...,n\}\to [/mm] M$ bijektiv.

Damit kannst Du arbeiten. Aber natürlich ist das, was UniOb sagt, generell
auch richtig. Die Frage ist, ob Du so überhaupt (schon) argumentieren darfst.
Vermutlich noch nicht, aber die letztstehende Charakterisierung sollte Dir
für den (eigentlich einzig interessanten) Fall, dass beide endliche Mengen
nicht leer sind, helfen.

Gruß,
  Marcel  

Bezug
        
Bezug
Beweis der Beträge von Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Do 30.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Es seien A und B beliebige endliche Mengen. Beweise die
> Gleichung |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
>  (Hinweis: Sind M1 und M2 disjunkte Mengen, d.h. M1 ∩ M2
> = ∅, so gilt |M1 ∪ M2| = |M1| + |M2|.)
>  Hallo,
>  ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht
> weiter.
>  Ich hab schon in sämtlichen Foren gesucht aber nichts
> passendes gefunden.
>  Bin um jede Antwort dankbar.

mit dem Hinweis:
Beweise zunächst

    $B=(B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$

Warum ist die rechte Seite eine disjunkte Vereinigung?

Damit folgt dann auch direkt:

    $A=(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$

Warum? Und inwiefern nutzt das was?


Danach nutze

    $A [mm] \cup [/mm] B=(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap B)\,,$ [/mm]

unter Beachtung, dass rechts paarweise disjunkte Mengen vereinigt
werden.

Bei UniOb steht das prinzipiell ähnlich da, aber "das doppelt Zählen" wird
nicht wirklich mit dem Hinweis begründet. (Es folgt aber aus den ersten
beiden Gleichungen oben.)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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