Beweis der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Do 20.11.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{1}{n^2})^n=1 [/mm] |
Hallo!
Ich hab mich mal an der Aufgabe versucht. Es wäre toll, wenn jemand drüber gucken könnte, ob das richtig ist, weil ich mich in der Welt der Folgen noch nicht so richtig fit fühle... Also hier mein Beweis:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben. Sei N [mm] \in \IN [/mm] so, dass [mm] \frac{1}{N-1}< \varepsilon [/mm] .
zz. [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > N.
Also:
[mm] |(1-\frac{1}{n^2})^n [/mm] - 1|
[mm] \le |\frac{1}{1-n\frac{1}{n^2}}-1|
[/mm]
= | [mm] \frac{1}{1-\frac{1}{n}}-1|
[/mm]
= | [mm] \frac{1-(1-\frac{1}{n})}{1-\frac{1}{n}}|
[/mm]
= | [mm] \frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}}|
[/mm]
= | [mm] \frac{1}{n-1}|
[/mm]
< | [mm] \frac{1}{N-1} [/mm] für alle n>N
< [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Bemerkung: Die erste Ungleichung mach ich nach Bernoulli-Ungleichung. Dann hab ich noch den reziproken Wert genommen, damit da [mm] \le [/mm] statt [mm] \ge [/mm] steht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Do 20.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julian!
Bist Du sicher, dass diesen Grenzwert mittels [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zeigen sollst?
Schneller geht es, wenn man folgende beiden Grenzwerte kennt:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ e$$
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e}$$
[/mm]
> Also:
> [mm]|(1-\frac{1}{n^2})^n[/mm] - 1|
>
> [mm]\le |\frac{1}{1-n\frac{1}{n^2}}-1|[/mm]
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst du auf diese Zeile? Warum "landet" die Bernoulli-Ungleichung hier im Nenner?
Zudem erhält man durch die Bernoulli-Ungleichung hier ein [mm] $\red{\ge}$ [/mm] !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Fr 21.11.2008 | | Autor: | JulianTa |
Ich hab mir das so gedacht:
[mm] |(1-\frac{1}{n^2})^n| \ge |1-n\frac{1}{n^2}|
[/mm]
daraus folgt doch dann, dass der Kehrwert also [mm] |\frac{1}{1-n\frac{1}{n^2}}| [/mm] kleiner gleich ist als [mm] |(1-\frac{1}{n^2})^n|
[/mm]
ODer mach ich an der Stelle einen Fehler?
Die Grenzwert e haben wir leider noch nicht definiert...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julian,
> Ich hab mir das so gedacht:
> [mm]|(1-\frac{1}{n^2})^n| \ge |1-n\frac{1}{n^2}|[/mm]
> daraus folgt
> doch dann, dass der Kehrwert also
> [mm]|\frac{1}{1-n\frac{1}{n^2}}|[/mm] kleiner gleich ist als
> [mm]|(1-\frac{1}{n^2})^n|[/mm]
> ODer mach ich an der Stelle einen Fehler?
leider ja. Du darfst ja nicht auf einer Seite den Kehrwert bilden und auf der anderen nicht. Du mußt/darfst (für $n [mm] \ge [/mm] 2$) (weil dann hier beide Seiten $> 0$ sind) auf beiden Seiten den Kehrwert bilden und dann aus dem [mm] $\ge$ [/mm] ein [mm] $\le$ [/mm] machen. ^^
Also aus $r [mm] \ge [/mm] s$ ($> 0$) folgt doch [mm] $\frac{1}{r} \le \frac{1}{s}\,,$ [/mm] aber i.a. folgt doch aus $r [mm] \ge [/mm] s$ ($>0$) nicht [mm] $\frac{1}{s} \le r\,...$ [/mm] Wie kommst Du auf solche Behauptungen?
Ein Gegenbeispiel:
Es gilt $r:=2 [mm] \ge \frac{1}{4}=:s\,,$ [/mm] aber es gilt nicht [mm] $\frac{1}{s} \le r\,,$ [/mm] weil [mm] $\frac{1}{s}=4 [/mm] > [mm] r=2\,.$
[/mm]
Hinzu kommt noch eine andere Sache:
Selbst, wenn Du nun
[mm] $(1-\frac{1}{n^2})^n \le \frac{1}{1-n\frac{1}{n^2}}$
[/mm]
hättest, so kannst Du nicht einfach auf beiden Seiten Minus 1 rechnen und danach davon jeweils den Betrag nehmen und das [mm] $\le$ [/mm] einfach stehen lassen. Das bedürfte einer äußerst genauen Begründung, wenn Du das machen würdest, warum Du das hier machen dürftest.
Denn dass aus $a [mm] \ge [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0$ im allgmeinen nicht $|a-c| [mm] \ge [/mm] |b-c|$ für $c [mm] \ge [/mm] 0$ folgt:
Sei [mm] $c:=4\,.$ [/mm] Dann ist $a:=5 [mm] \ge b:=2\,.$
[/mm]
Aber es gilt $|a-c|=1 < [mm] |b-c|=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | JulianTa |
ja, du hast recht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja, du hast recht
das ist aber nicht schlimm, es ist ziemlich normal, dass man anfangs einfach so viele "Behauptungen" in einen Beweis reinschmeißt. Du sollst ja auch lernen, solche Fehler zu erkennen und in Zukunft zu vermeiden.
Natürlich ist es schade, dass Dein Beweis so nicht klappt und sich wohl auch nicht retten läßt, nichtsdestotrotz gibt es zwei durchaus positive Dinge:
[mm] $\bullet$ [/mm] Du hast es wenigstens alleine versucht und auch Deine Gedankengänge formuliert
[mm] $\bullet$ [/mm] Du hast nun selbst auch nochmal drüber nachgedacht und auch erkannt, an welchen Stellen Du Fehler gemacht hast und wie die zustandegkommen sind
Das gehört durchaus mit zum Studium. Man muss auch seine eigenen Lösungen kritisch betrachten und gewillt sein, sie gegebenenfalls nochmal zu überarbeiten oder auch zu akzeptieren, dass man da einfach Mist gebaut hat und das ganze in die Tonne werfen sollte 
Ich habe auch schon so einiges vernichtet, wo ich der Meinung war, dass dieser grobe Unfug besser nie jemand anderes zu Gesicht bekommen sollte
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:11 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich sehe da auch nicht direkt, was Du da machst. Aber es geht durchaus einfach mit Bernoulli, denn:
Klar ist, dass [mm] $(1-1/n^2)^n \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (Mir ist es jedenfalls klar . Ist Dir auch klar, warum das klar ist? [mm] ($\leftarrow$ Herrlich, wie ich diese Frage formuliert habe ^^))
Mit [/mm] ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli folgt zudem
[mm] $$(1-1/n^2)^n=(1+(-1/n^2))^n \ge 1+n*(-1/n^2)=1-1/n \text{ für jedes }n \in \IN\,,$$
[/mm]
also
$$1-1/n [mm] \le (1-1/n^2)^n \le [/mm] 1 [mm] \text{ für jedes }n \in \IN\,.$$
[/mm]
Das liefert die Behauptung (wenn Du magst, kannst Du das nun sogar auch mit [mm] $\varepsilon-N_\varepsilon$ [/mm] nachrechnen).
P.S.:
Beachte bitte, dass die Ungleichung von Bernoulli z.B. besagt, dass für jedes feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass für jedes beliebige $x [mm] \ge [/mm] -1$ dann [mm] $(1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x$ ist. Insbesondere kannst Du dann für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] speziell [mm] $x=x_n=-1/n^2 \ge [/mm] -1$ einsetzen.
(Bei mir ist $0 [mm] \notin \IN\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | JulianTa |
hmm.. sieht gar nicht so übel aus. dann ist die Behauptung mit sandwich-theorem wirklich klar..
wär nur schön, wenn meine lösung auch richtig wär.. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> hmm.. sieht gar nicht so übel aus. dann ist die Behauptung
> mit sandwich-theorem wirklich klar..
> wär nur schön, wenn meine lösung auch richtig wär.. :)
ist sie leider nicht. Dazu gibt es zu viele Ungereimtheiten, s.o.
Sorry ^^
Gruß,
Marcel
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