Beweis der Leibnizschen Formel < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Lilium |
| Aufgabe | Es sei D [mm] \subset \IR [/mm] und es seien f,g : D [mm] \to \IR [/mm] zwei in D n-mal differenzierbare Funktionen. Man beweise durch vollständige Induktion nach n [mm] \in \IN [/mm] die folgenden Beziehungen:
a.) (Leibnizsche Formel)
[mm] d^{n}/dx^{n} [/mm] (f(x)g(x)) = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)
[/mm]
b.)
f(x) ( [mm] d^{n}g(x) [/mm] )/ [mm] (dx^{n}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} d^{(n-k)}/dx^{(n-k)} (f^{(k)} [/mm] (x)g(x)). |
Hallo zusammen!
Ich habe für die Aufgabe a.) einen Lösungsvorschlag im Übungsbuch zur Analysis (Forster) gefunden, welchen ich gerne verstehen möchte.
Im Forster ist zu finden:
Mit der Abkürzung [mm] D^{k} [/mm] für [mm] d^{k}/dx^{k} [/mm] lautet die Behauptung
[mm] D^{n}(fg) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n-k}f) (D^{k}g).
[/mm]
Diese Formel erinnert an den binomischen Lehrsatz und kann auch analog dazu mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.
Induktionsanfang: n = 0.
Trivial.
Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] D^{n+1}(fg) [/mm] = [mm] D(D^{n}(fg))
[/mm]
= D( [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} D^{n-k}fD^{k}g)
[/mm]
Soweit ist das verständlich, das oben genannte gilt ja nach I.V.
= [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)
[/mm]
auch das verstehe ich noch.
= [mm] (D^{n+1}f)g [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] { [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k-1} [/mm] } [mm] D^{n+1-k}fD^{k}g [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n} fD^{n+1}g
[/mm]
Wieso gilt das? Ich weiß, dass der Teil vor der Summe rausgezogen wurde, damit eine Indexverschiebung möglich ist, aber ich weiß nicht, wie die angegebenen Werte zustande kommen. Könnt ihr mir hier vielleicht einen Tipp geben, damit ich das nachvollziehen kann?
= [mm] \vektor{n+1 \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k}D^{n+1-k}fD^{k}g [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} D^{0}fD^{n+1}g
[/mm]
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} D^{n+1-k}fD^{k}g.
[/mm]
Diesen Teil des Beweises verstehe ich wieder.
Vielen Dank im Voraus für hoffentlich viele hilfreiche Antworten,
LG
Lilium
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Lilium,
> Es sei D [mm]\subset \IR[/mm] und es seien f,g : D [mm]\to \IR[/mm] zwei in D
> n-mal differenzierbare Funktionen. Man beweise durch
> vollständige Induktion nach n [mm]\in \IN[/mm] die folgenden
> Beziehungen:
>
> a.) (Leibnizsche Formel)
>
> [mm]d^{n}/dx^{n}[/mm] (f(x)g(x)) = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)[/mm]
>
> b.)
>
> f(x) ( [mm]d^{n}g(x)[/mm] )/ [mm](dx^{n})[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} d^{(n-k)}/dx^{(n-k)} (f^{(k)}[/mm]
> (x)g(x)).
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe für die Aufgabe a.) einen Lösungsvorschlag im
> Übungsbuch zur Analysis (Forster) gefunden, welchen ich
> gerne verstehen möchte.
>
> Im Forster ist zu finden:
>
> Mit der Abkürzung [mm]D^{k}[/mm] für [mm]d^{k}/dx^{k}[/mm] lautet die
> Behauptung
> [mm]D^{n}(fg)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n-k}f) (D^{k}g).[/mm]
>
> Diese Formel erinnert an den binomischen Lehrsatz und kann
> auch analog dazu mittels vollständiger Induktion bewiesen
> werden.
> Induktionsanfang: n = 0.
> Trivial.
> Induktionsschritt: n [mm]\to[/mm] n+1
> [mm]D^{n+1}(fg)[/mm] = [mm]D(D^{n}(fg))[/mm]
> = D( [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} D^{n-k}fD^{k}g)[/mm]
>
> Soweit ist das verständlich, das oben genannte gilt ja
> nach I.V.
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
>
>
> auch das verstehe ich noch.
>
> = [mm](D^{n+1}f)g[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] +
> [mm]\vektor{n \\ k-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]D^{n+1-k}fD^{k}g[/mm] + [mm]\vektor{n \\ n} fD^{n+1}g[/mm]
>
Es wurde hier gesetzt:
[mm]D^{n+1-k}fD^{k}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
und
[mm]D^{n-k}fD^{k+1}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
Damit wird der Vorfaktor [mm]\pmat{n \\k}[/mm] im Fall k=m zu [mm]\pmat{n \\ m}[/mm]
Im Fall k+1=m ergibt sich dieser zu [mm]\pmat{n \\ m-1}[/mm]
Anschliessend wurde m wieder in k umbenannt.
Die dann zusammengefasste Summe läuft
dann von k=1 (k-1 [mm] \ge [/mm] 0) bis k=n (k [mm] \le [/mm] n).
>
> Wieso gilt das? Ich weiß, dass der Teil vor der Summe
> rausgezogen wurde, damit eine Indexverschiebung möglich
> ist, aber ich weiß nicht, wie die angegebenen Werte
> zustande kommen. Könnt ihr mir hier vielleicht einen Tipp
> geben, damit ich das nachvollziehen kann?
>
> = [mm]\vektor{n+1 \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k}D^{n+1-k}fD^{k}g[/mm]
> + [mm]\vektor{n+1 \\ n+1} D^{0}fD^{n+1}g[/mm]
>
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n+1 \\ k} D^{n+1-k}fD^{k}g.[/mm]
>
>
> Diesen Teil des Beweises verstehe ich wieder.
>
>
>
> Vielen Dank im Voraus für hoffentlich viele hilfreiche
> Antworten,
>
> LG
> Lilium
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo MathePower ,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Es wurde hier gesetzt:
>
> [mm]D^{n+1-k}fD^{k}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
>
> und
>
> [mm]D^{n-k}fD^{k+1}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
das verstehe ich noch nicht. Wäre dann nicht [mm] D^{n+1-k}fD^{k}g=D^{n-k}fD^{k+1}g?
[/mm]
> Damit wird der Vorfaktor [mm]\pmat{n \\k}[/mm] im Fall k=m zu
> [mm]\pmat{n \\ m}[/mm]
> Im Fall k+1=m ergibt sich dieser zu [mm]\pmat{n \\ m-1}[/mm]
und warum kann ich die summe so auftrennen, dass ich einmal k=m habe und einmal k+1=m ???
Ich glaube, ich brauche nochmal hilfe... kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
Lilium
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Hallo Lilium,
> Hallo MathePower ,
> vielen Dank für die schnelle Antwort.
> > Es wurde hier gesetzt:
> >
> > [mm]D^{n+1-k}fD^{k}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]D^{n-k}fD^{k+1}g=D^{l}fD^{m}g[/mm]
> das verstehe ich noch nicht. Wäre dann nicht
> [mm]D^{n+1-k}fD^{k}g=D^{n-k}fD^{k+1}g?[/mm]
> > Damit wird der Vorfaktor [mm]\pmat{n \\k}[/mm] im Fall k=m zu
> > [mm]\pmat{n \\ m}[/mm]
> > Im Fall k+1=m ergibt sich dieser zu
> [mm]\pmat{n \\ m-1}[/mm]
> und warum kann ich die summe so
> auftrennen, dass ich einmal k=m habe und einmal k+1=m ???
> Ich glaube, ich brauche nochmal hilfe... kann mir jemand
> helfen?
Die Summe
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g) [/mm]
wird so sortiert, daß dann da steht:
[mm] \summe_{m=0}^{n+1} a_{m}D^{n+1-m}fD^{m}g [/mm]
>
> Vielen Dank
> Lilium
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo MathePower,
> Die Summe
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
>
> wird so sortiert, daß dann da steht:
>
> [mm]\summe_{m=0}^{n+1} a_{m}D^{n+1-m}fD^{m}g[/mm]
>
ok, ich versuche den umsortierungsvorgang mal nachzurechnen:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)
[/mm]
jetzt benutze ich für den linken teil [mm] ((D^{n+1-k}fD^{k}g) [/mm] m=k und für den rechten [mm] (D^{n-k}fD^{k+1}g) [/mm] m=k+1
daher bekomme ich: [mm] D^{n+1-m}fD^{m}g+D^{n+1-m}fD^{m}g. [/mm] Dadurch, dass ich jetzt im prinzip zweimal [mm] (D^{n+1-m}fD^{m}g [/mm] habe, läuft die summe von k=1 (aber hab ich jetzt k=0 wirklih raugenommen oder interpretiere ich das falsch?) bis n und m heißt wieder k, also
[mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}\vektor{n \\ k-1}(D^{n+1-k}fD^{k}g [/mm]
aber irgendwie fehlt da ja noch ein teil vor und hinter der summe, weil ich auf
[mm] (D^{n+1}f)g+\summe_{k=1}^{n} {\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1} } D^{n+1-k}fD^{k}g+\vektor{n \\ n} fD^{n+1}g [/mm]
kommen muss.
Ich dachte mir, dass ich vielleicht aus [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g) [/mm] die null berechne, sodass die summe von k=1 bis n läuft, also so:
[mm] \underbrace{(D^{n+1}f g}_{=kommt im gewünschten ergebnis vo}+\underbrace{D^{n}fD^{1}g)}_{=das hier leider jedoch nicht}+\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)
[/mm]
dann würde ich den mittleren teil so umformen, wie du es meintest, sodass ich dann auf
[mm] D^{n+1}f g+D^{n}fD^{1}g+\summe_{k=1}^{n} {\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1} } D^{n+1-k}fD^{k}g [/mm]
komme
aber es ist immernoch [mm] D^{n}fD^{1}g [/mm] "zuviel" und es feht der teil [mm] \vektor{n \\ n} fD^{n+1}g
[/mm]
kann ich das ineinander umformen?
Oh je... vielen Dank für die Geduld.
Liebe Grüße
Lilium
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Hallo Lilium,
> Hallo MathePower,
>
> > Die Summe
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
>
> >
> > wird so sortiert, daß dann da steht:
> >
> > [mm]\summe_{m=0}^{n+1} a_{m}D^{n+1-m}fD^{m}g[/mm]
> >
> ok, ich versuche den umsortierungsvorgang mal
> nachzurechnen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
>
> jetzt benutze ich für den linken teil [mm]((D^{n+1-k}fD^{k}g)[/mm]
> m=k und für den rechten [mm](D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm] m=k+1
>
> daher bekomme ich: [mm]D^{n+1-m}fD^{m}g+D^{n+1-m}fD^{m}g.[/mm]
> Dadurch, dass ich jetzt im prinzip zweimal
> [mm](D^{n+1-m}fD^{m}g[/mm] habe, läuft die summe von k=1 (aber hab
> ich jetzt k=0 wirklih raugenommen oder interpretiere ich
> das falsch?) bis n und m heißt wieder k, also
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}\vektor{n \\ k-1}(D^{n+1-k}fD^{k}g[/mm]
>
> aber irgendwie fehlt da ja noch ein teil vor und hinter der
> summe, weil ich auf
> [mm](D^{n+1}f)g+\summe_{k=1}^{n} {\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1} } D^{n+1-k}fD^{k}g+\vektor{n \\ n} fD^{n+1}g[/mm]
> kommen muss.
>
> Ich dachte mir, dass ich vielleicht aus [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
> die null berechne, sodass die summe von k=1 bis n läuft,
> also so:
> [mm]\underbrace{(D^{n+1}f g}_{=kommt im gewünschten ergebnis vo}+\underbrace{D^{n}fD^{1}g)}_{=das hier leider jedoch nicht}+\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
>
> dann würde ich den mittleren teil so umformen, wie du es
> meintest, sodass ich dann auf
> [mm]D^{n+1}f g+D^{n}fD^{1}g+\summe_{k=1}^{n} {\vektor{n \\ k}+\vektor{n \\ k-1} } D^{n+1-k}fD^{k}g[/mm]
> komme
>
> aber es ist immernoch [mm]D^{n}fD^{1}g[/mm] "zuviel" und es feht der
> teil [mm]\vektor{n \\ n} fD^{n+1}g[/mm]
>
> kann ich das ineinander umformen?
Nein, das geht nicht.
Betrachten wir
[mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (D^{n+1-k}fD^{k}g+D^{n-k}fD^{k+1}g)[/mm]
Teilen wir das jetzt auf, so steht da:
[mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} D^{n+1-k}fD^{k}g+\summe_{k=0}^{n}\pmat{n \\ k}D^{n-k}fD^{k+1}g[/mm]
Setzt man nun in der ersten Summe k=m so steht zunächst da:
[mm]\summe_{m=0}^{n} \vektor{n \\ m} D^{n+1-m}fD^{m}g+\summe_{k=0}^{n}\pmat{n \\ k}D^{n-k}fD^{k+1}g[/mm]
Setzen wir nun inder zweiten Summe k+1=m. so steht da:
[mm]\summe_{m=0}^{n} \vektor{n \\ m} D^{n+1-m}fD^{m}g+\summe_{m=1}^{n+1}\pmat{n \\ m-1}D^{n-m+1}fD^{m}g[/mm]
Die beiden Summen kannst Du jetzt folgendermassen umschreiben:
[mm]\vektor{n \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g+\summe_{m=1}^{n} \vektor{n \\ m} D^{n+1-m}fD^{m}g+\summe_{m=1}^{n}\pmat{n \\ m-1}D^{n-m+1}fD^{m}g+\pmat{n \\ n}D^{0}fD^{n+1}g[/mm]
Demnach ergibt sich:
[mm]\vektor{n \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g+\summe_{m=1}^{n} \left( \ \vektor{n \\ m} + \pmat{n \\ m-1}\ \right) D^{n+1-m}fD^{m}g+\pmat{n \\ n}D^{0}fD^{n+1}g[/mm]
> Oh je... vielen Dank für die Geduld.
>
> Liebe Grüße
> Lilium
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 So 16.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo MathePower,
ahhhchso das sieht logisch aus.. ich danke dir ganz doll. ich hab auch nur noch eine allerletzte frage:
wieso kann ich in einem term m=k und m=k+1 setzten, schon klar, dass es zwei summen sind, aber ist das möglich?? ich finde es komisch, wenn ich z.b. habe: (k)+(k+1)
und einmal m=k nehme und einmal m=k+1, dann habe ich ja m+m, aber dann sehe ich ja gar nicht mehr ob hinter dem m ein k oder ein k+1 steht... ich hoffe, es ist klar, wo meine frage ist..
LG
Lilium
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 So 16.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Tach auch!
Ich misch mich mal kurz ein :)
> Hallo MathePower,
> ahhhchso das sieht logisch aus.. ich danke dir ganz doll.
> ich hab auch nur noch eine allerletzte frage:
> wieso kann ich in einem term m=k und m=k+1 setzten, schon
> klar, dass es zwei summen sind, aber ist das möglich?? ich
> finde es komisch, wenn ich z.b. habe: (k)+(k+1)
> und einmal m=k nehme und einmal m=k+1, dann habe ich ja
> m+m, aber dann sehe ich ja gar nicht mehr ob hinter dem m
> ein k oder ein k+1 steht... ich hoffe, es ist klar, wo
> meine frage ist..
Das ist in diesem Falle egal, weil m nur ein Laufindex ist, über den summiert wird. Du kannst auch in der zweiten Summe k+1=j setzen und dann über j summieren. In dem Fall ist dann später beim zusammenziehen der Summen das ganze halt etwas weniger übersichtlich. In dem Falle stünde da dann nach der Umindizierung:
[mm] \summe_{m=0}^{n} \vektor{n \\ m} D^{n+1-m}fD^{m}g+\summe_{j=1}^{n+1}\pmat{n \\ j-1}D^{n-j+1}fD^{j}g
[/mm]
Und durch auseinander ziehen ergibt sich dann zuerst:
[mm] \vektor{n \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g+\summe_{m=1}^{n} \vektor{n \\ m} D^{n+1-m}fD^{m}g+\summe_{j=1}^{n}\pmat{n \\ j-1}D^{n-j+1}fD^{j}g+\pmat{n \\ n}D^{0}fD^{n+1}g
[/mm]
Und durch zusammen ziehen (und Umbenennung von j in m) dann nach wie vor:
[mm] \vektor{n \\ 0} D^{n+1}fD^{0}g+\summe_{m=1}^{n} \left( \ \vektor{n \\ m} + \pmat{n \\ m-1}\ \right) D^{n+1-m}fD^{m}g+\pmat{n \\ n}D^{0}fD^{n+1}g
[/mm]
Also quasi alles wie zuvor mit ein paar anderen Buchstaben. Das ist alles.
Ich hoffe deine Frage ist damit beantwortet...
>
>
> LG
> Lilium
LG und Gute Nacht!
skoopa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 So 16.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Ahhhh ok, super!! Ich danke euch sehr!
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag.
Lilium
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:26 So 16.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo nochmal,
ich habe 4a mittlerweile komplett verstanden und dachte, dass b analog gehen würde, allerdings habe ich da probleme.. ich zeige euch mal, was ich da probiert habe:
f(x) ( [mm] d^{n}g(x) [/mm] )/ [mm] (dx^{n}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} d^{(n-k)}/dx^{(n-k)} (f^{(k)} [/mm] (x)g(x)).
Ich schreibe die n-te Ableitung von f(x) als D^nf
zz:
[mm] fD^ng=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k} D^{n-k}(D^kfg)
[/mm]
Der Induktionsanfang ist kein problem: Für n=0 gilt
[mm] fD^0g=\summe_{k=0}^{0}(-1)^0 \vektor{0 \\ 0} D^{0-0}(D^0fg)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] fg=fg
Das Problem habe ich beim Induktionsschritt, ich porbiere da schon den ganzen tag, aber es haut immer nicht hin...Ich fange so an:
[mm] fD^{n+1}g=fD^{1}(D^{n}g)= [/mm] hier meine erste frage, darf ich das f so reinziehen??? = [mm] D^{1}(fD^{n}g)
[/mm]
ich hab das gemacht, aber das haut irgendwie nicht hin... (ist ja eigentlich auch klar, aber wie setzte ich sonst die Indunkionsvorraussetzung ein??
....
[mm] =\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k \vektor{n+1 \\ k} D^{n+1-k}(D^kfg)
[/mm]
Hat jemand eine Tipp für mich??
Liebe Grüße
Lilium
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Lilium |
hmmm... ich habe gerade nochmal einen anderen ansatz ausprobiert und zwar habe ich in [mm] fD^{n+1}g=fD^{1}(D^{n}g)
[/mm]
als induktionsvorraussetzung
[mm] D^ng=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{f} \vektor{n \\ k} D^{n-k}(D^kfg) [/mm] eingesetzt..
aber das funktioniert leider auch nicht ganz, ich muss noch -D^nfD^1g-D^nfD^1g in [mm] \vektor{n+1 \\ n+1}D^{n+1}fg+D^{n+1}fg [/mm] umformen, aber da sehe ich auch keine möglichkeit..oder?
Kann mir jemand helfen? Ich habe schon alles mögliche ausprobiert und bekomme einfah keine lösung...
Ich freue mich über jeden Tipp.
LG
Lilium
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Mo 17.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey!!
Ich bin mir nicht sicher, aber kann es sein, dass du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast?
Zu zeigen ist doch:
[mm] fD^n(g)=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k}(f)g)
[/mm]
Und das ist zumindest nicht das, was du zeigen willst :)
Ich habe jetzt immer in Klammer geschrieben, worauf sich der jeweilige Differentialoperator bezieht.
Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 17.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hey,
ja, ich habe mich vertippt mit der oberen schreibweise, also die genaue Gleichung ist:
[mm] fD^n(g)=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n\\ k}D^{n-k}(D^k(f)g)...
[/mm]
entschuldigung...
doch wie fange ich an? ich dachte an:
[mm] fD^{n+1}(g)=fD^{1}(D^{n}(g)) [/mm] und dann die Induktionsvorraussetzung einsetzen, aber leider lautet die ja [mm] fD^n(g)=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n\\ k}D^{n-k}(D^k(f)g)... [/mm] also das f da stört irgendwie.. kann ich durch das f teilen? Ich habe das auch schon probiert mir dem durch f teilen, aber ich komme nicht zum ziel... vielleicht habe ich mich ja verrechnet. aber ist das der richtige ansatz oder wie bekomme ich die Induktionsvorraussetzung eingesetzt??
Liebe Grüße
Lilium
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mo 17.01.2011 | | Autor: | skoopa |
HeyHey!
> Hey,
> ja, ich habe mich vertippt mit der oberen schreibweise,
> also die genaue Gleichung ist:
> [mm]fD^n(g)=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n\\ k}D^{n-k}(D^k(f)g)...[/mm]
>
> entschuldigung...
Kein Ding ist ja nix passiert :)
> doch wie fange ich an? ich dachte an:
> [mm]fD^{n+1}(g)=fD^{1}(D^{n}(g))[/mm] und dann die
> Induktionsvorraussetzung einsetzen, aber leider lautet die
> ja [mm]fD^n(g)=\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n\\ k}D^{n-k}(D^k(f)g)...[/mm]
> also das f da stört irgendwie.. kann ich durch das f
> teilen?
In diesem Fall darfst du nicht durch f teilen, da du nicht genügend Informationen über diese Funktion hast. Du darfst nur durch f teilen, falls [mm] f(x)\not=0 \forall x\inD. [/mm] Da du sonst durch Null teilen würdest.
> Ich habe das auch schon probiert mir dem durch f
> teilen, aber ich komme nicht zum ziel... vielleicht habe
> ich mich ja verrechnet. aber ist das der richtige ansatz
> oder wie bekomme ich die Induktionsvorraussetzung
> eingesetzt??
Also ich bin nach einiger Rumrechnerei zum Ziel gekommen. Und zwar du zeigst von der rechten Seite ausgehend, dass sie gleich der linken ist.
Für den Binomialkoeffizienten gilt: [mm] \vektor{n+1\\k+1}=\vektor{n\\k}+\vektor{n\\k+1}.
[/mm]
Wodurch sich dann folgendes ergibt:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}\vektor{n+1\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}(\vektor{n\\k-1}+\vektor{n\\k})D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)
[/mm]
Jetzt wird die Klammer mit den Binomialkoeffizienten durch auseinanderziehen aufgelöst, sodass wir zwei Summen haben, die beide von 0 bis n+1 laufen.
Bei der Summe in der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n\\k} [/mm] ist nun der Summand mit k=n+1 Null, weil n<n+1 und der Binomialkoeffizient in diesem Fall nicht definiert ist.
Bei der anderen Summe ist der Summand mit k=0 gleich Null, weil der Binomialkoeffizient nur für positive n und k definiert ist. Dann führen wir einen Indexshift um -1 aus. Außerdem klammern wir gleich einen Faktor (-1) aus.
Dann haben wir also:
= [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D(D^{n}(f))g))
[/mm]
In der vorderen Summe kannst du jetzt noch [mm] D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)=D(D^{n-k}(D^{k}(f)g)) [/mm] umformen. Und dann kannst du dieses D, das jetzt vor dieser kleinen Klammer steht vor die gesamte Summe ziehen, da der Binomialkoeffizient und (-1) nur Konstanten sind und man die beim Ableiten einer Summe jeden Summanden einzeln ableitet.
Dann hast du also so was da stehen wie:
[mm] D(\summe_{k=0}^{n}...)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}...)
[/mm]
Und siehe da! Induktionsvoraussetzung!
Den Rest kriegst du bestimmt auch allein noch hin. Ich hab sowieso schon zu viel gesagt, aber wusste nicht wo aufhören.
Also ich hoffe das stimmt alles so und es hilft.
>
>
> Liebe Grüße
> Lilium
>
Beste Grüße!
skoopa
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 18.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hey skoopa,
ich danke dir sehr, ich hab aber noh ne Frage, wenn's ok ist?!
> Bei der anderen Summe ist der Summand mit k=0 gleich Null,
> weil der Binomialkoeffizient nur für positive n und k
> definiert ist. Dann führen wir einen Indexshift um -1 aus.
> Außerdem klammern wir gleich einen Faktor (-1) aus.
> Dann haben wir also:
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D(D^{n}(f))g))[/mm]
bei der Indexverschiebung um -1 muss ich ja k+1 anstatt k schreiben, oder? Daher habe ich im zweiten summanden was anderes:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}D((D^{k+1}(f))g)) [/mm] ?
... oder muss es da einfach nur k sein, weil ich die indexverschiebung schon einmal in dem Teil [mm] D^{n-k}D((D^{k+1}(f))g)) [/mm] gemacht habe? Ich bin mir bei der Indexverschiebung immer noch unsicher...ich arbeite aber dran :)
> Dann hast du also so was da stehen wie:
> [mm]D(\summe_{k=0}^{n}...)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}...)[/mm]
Ich habe
[mm] D(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k}(f)g))+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k+1}(f))g))
[/mm]
> Und siehe da! Induktionsvoraussetzung!
Ich sehe da leider noch nicht, wir ich jetzt das [mm] fD^{n+1}g [/mm] bekomme...
Wenn ich das (unabhängig von dem k+1-Problem)mal umschreibe, bekomme ich:
[mm] D(fD^{n}g)+(-1)*fD^{n}g
[/mm]
Wenn ich die Produktregel anwende komme ich auf:
[mm] DfD^{n}g+fD^{n+1}g+(-1)*fD^{n}g
[/mm]
[mm] =DfD^{n}g+fD^{n+1}g-fD^{n}g
[/mm]
aber hier komme ich nicht weter... eigentlich müsste ja
[mm] DfD^{n}g+fD-fD^{n}g=0
[/mm]
geht das?
Liebe Grüße
Lilium
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Di 18.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Hey Lilium!
> Hey skoopa,
> ich danke dir sehr, ich hab aber noh ne Frage, wenn's ok
> ist?!
Läuft.
>
>
>
> > Bei der anderen Summe ist der Summand mit k=0 gleich Null,
> > weil der Binomialkoeffizient nur für positive n und k
> > definiert ist. Dann führen wir einen Indexshift um -1 aus.
> > Außerdem klammern wir gleich einen Faktor (-1) aus.
> > Dann haben wir also:
> > =
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D(D^{n}(f))g))[/mm]
> bei der Indexverschiebung um -1 muss ich ja k+1 anstatt k
> schreiben, oder?
Ja das stimmt.
> Daher habe ich im zweiten summanden was
> anderes:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}D((D^{k+1}(f))g))[/mm]
Sorry, für die Verwirrung. Hab mich beim texen etwas vertippt.
Also betrachte nur den zweiten Summanden. Vor der Indexverschiebung steht da dann:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}(-1)^{k}\vektor{n\\k-1}D^{n+1-k}(D^{k}(f)g)
[/mm]
Nun schreiben wir [mm] D^{k}(f) [/mm] als [mm] D^{k-1}(D(f)) [/mm] und führen den Indexshift um -1 durch also k->k+1. Dann ergibt sich das zu:
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}\vektor{n\\k+1-1}D^{n+1-(k+1)}(D^{k+1-1}(D(f))g) [/mm] = [mm] (-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k}(D(f))g))
[/mm]
Hier kannst du jetzt die Induktionsvoraussetzung für die Funktionen D(f) und g einsetzen. Dann hast du:
[mm] (-1)*D(f)D^{n}(g) [/mm] = [mm] -D(f)D^{n}(g)
[/mm]
Was den ersten Summanden angeht hast du alles richtig gemacht. Induktionsvoraussetzung einsetzen und Produktregel anwenden.
Und Ergebnisse für ersten und zweiten Summanden zusammen genommen hast du dann:
[mm] D(f)D^{n}(g)+fD^{n+1}(g)-D(f)D^{n}(g) [/mm] = [mm] fD^{n+1}(g)
[/mm]
Und das wolltest du ja zeigen.
> ?
> ... oder muss es da einfach nur k sein, weil ich die
> indexverschiebung schon einmal in dem Teil
> [mm]D^{n-k}D((D^{k+1}(f))g))[/mm] gemacht habe? Ich bin mir bei der
> Indexverschiebung immer noch unsicher...ich arbeite aber
> dran :)
> > Dann hast du also so was da stehen wie:
> > [mm]D(\summe_{k=0}^{n}...)+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}...)[/mm]
> Ich habe
> [mm]D(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k}(f)g))+(-1)*(\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n\\k}D^{n-k}(D^{k+1}(f))g))[/mm]
Ja, das stimmt. Da fehlt jetzt nur noch der Trick mit dem [mm] D^{k+1}(f)=D^{k}(D(f)) [/mm] und dann Induktionsvoraussetzung für D(f) und g einsetzen und dann hast dus dastehen.
>
> > Und siehe da! Induktionsvoraussetzung!
> Ich sehe da leider noch nicht, wir ich jetzt das [mm]fD^{n+1}g[/mm]
> bekomme...
> Wenn ich das (unabhängig von dem k+1-Problem)mal
> umschreibe, bekomme ich:
> [mm]D(fD^{n}g)+(-1)*fD^{n}g[/mm]
> Wenn ich die Produktregel anwende komme ich auf:
> [mm]DfD^{n}g+fD^{n+1}g+(-1)*fD^{n}g[/mm]
> [mm]=DfD^{n}g+fD^{n+1}g-fD^{n}g[/mm]
> aber hier komme ich nicht weter... eigentlich müsste ja
> [mm]DfD^{n}g+fD-fD^{n}g=0[/mm]
> geht das?
>
> Liebe Grüße
> Lilium
Ich hoffe diesmal stimmt alles:)
Viele Grüße!
skoopa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 18.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hey^^
Ich danke dir sehr.. aber sag mal, gibt es einen Trick, wie man auf sowas kommt?? Ich habe immer probiert und probiert und hab's einfach nicht hinbekommen (ich hatte auch immer von der anderen Seite angefangen...)
Ich wünsche dir einen wunderschönen Tag.
Lilium
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 18.01.2011 | | Autor: | skoopa |
Boah, du frägst Sachen...
Ich denke das kommt einfach mit der Zeit. Man muss halt erstmal irgendwie so ein bisschen ein Gefühl entwickeln. Aber das kommt mit der Anzahl der bearbeiteten Aufgaben.
Auf das mit der anderen Seite kommt man halt, wenns von der anderen nicht klappt ;) Außerdem ist es immer schwerer etwas zu einem Term richtig hinzuzufügen, als etwas richtig wegzustreichen. Und wie gesagt, der Rest ist probieren und Erfahrung. Das kommt, wenn du's willst!
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