Beweis der Ln-Rechenregeln < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 So 22.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
| Aufgabe | | Ich möchte die Rechenregeln der natürlichen Logarithmusfunktion beweisen. |
1.) $ln (ab) = ln (a) + ln (b)$
Beweis:
Seien $a, b [mm] \in [/mm] R^+$ und seien $x, y$ und $z$ reelle Zahlen mit [mm] $e^x [/mm] = ab$, [mm] $e^y [/mm] = a$ und [mm] $e^z [/mm] = b$.
Dann gilt $ln (a) = y$, $ln (b) = z$ und $ln (ab) = x$. Damit folgen [mm] $e^y*e^z [/mm] = [mm] e^{y+z} [/mm] = ab$ und $ln (ab) = y + z = ln (a) + ln (b)$.
2.) $ln(a/b) = ln(a) - ln(b)$
Beweis:
Seien $a, b [mm] \in [/mm] R^+$ und seien $x, y, z$ reelle Zahlen mit [mm] $e^x=a/b$, $e^y=a$ [/mm] und [mm] $e^z=b$. [/mm] Dann gilt $ln (a/b) = x$, $ln (a) = y$ und $ln (b) = z$. Damit folgen [mm] $e^{y-z} [/mm] = a/b$ und $ln(a/b)=y-z = ln(a) - ln(b)$.
3.) [mm] $ln(a^x) [/mm] = ln(a)*x$
Seien $a [mm] \in [/mm] R^+$ und $l, x$ reelle Zahlen mit [mm] $e^l=a^x$. [/mm] Dann gelten [mm] $ln(a^x)=l$ [/mm] und [mm] $a=e^{l/x}$. [/mm] Damit folgt $ln(a)=l/x [mm] \gdw ln(a)*x=l=ln(a^x)$.
[/mm]
Ist das so richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 So 22.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Anm.: Die Definitionen der Zahlen in den Beweisen beziehen sich auch auf die jeweiligen Zahlen in den Sätzen.
|
|
|
| |
|
> Ich möchte die Rechenregeln der natürlichen
> Logarithmusfunktion beweisen.
> 1.) [mm]ln (ab) = ln (a) + ln (b)[/mm]
> Beweis:
> Seien [mm]a, b \in R^+[/mm] und seien [mm]x, y[/mm] und [mm]z[/mm] reelle Zahlen mit
> [mm]e^x = ab[/mm], [mm]e^y = a[/mm] und [mm]e^z = b[/mm].
> Dann gilt [mm]ln (a) = y[/mm], [mm]ln (b) = z[/mm]
> und [mm]ln (ab) = x[/mm]. Damit folgen [mm]e^y*e^z = e^{y+z} = ab[/mm] und [mm]ln (ab) = y + z = ln (a) + ln (b)[/mm].
>
> 2.) [mm]ln(a/b) = ln(a) - ln(b)[/mm]
> Beweis:
> Seien [mm]a, b \in R^+[/mm] und seien [mm]x, y, z[/mm] reelle Zahlen mit
> [mm]e^x=a/b[/mm], [mm]e^y=a[/mm] und [mm]e^z=b[/mm]. Dann gilt [mm]ln (a/b) = x[/mm], [mm]ln (a) = y[/mm]
> und [mm]ln (b) = z[/mm]. Damit folgen [mm]e^{y-z} = a/b[/mm] und [mm]ln(a/b)=y-z = ln(a) - ln(b)[/mm].
>
> 3.) [mm]ln(a^x) = ln(a)*x[/mm]
> Seien [mm]a \in R^+[/mm] und [mm]l, x[/mm] reelle
> Zahlen mit [mm]e^l=a^x[/mm]. Dann gelten [mm]ln(a^x)=l[/mm] und [mm]a=e^{l/x}[/mm].
> Damit folgt [mm]ln(a)=l/x \gdw ln(a)*x=l=ln(a^x)[/mm].
>
> Ist das so richtig?
Hallo MaxHBB
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du bist im Wesentlichen auf dem richtigen Weg. Ein sehr
wichtiger Punkt fehlt aber noch. Es ist wichtig, dass die
Zahlen, die du da jeweils mittels "seien x, y und z reelle
Zahlen mit ..." einführst, jeweils tatsächlich existieren
müssen und eindeutig festgelegt sind.
Eine entsprechende Begründung ist notwendig für diese
Beweise.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 22.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
> Hallo MaxHBB
>
>
>
> Du bist im Wesentlichen auf dem richtigen Weg. Ein sehr
> wichtiger Punkt fehlt aber noch. Es ist wichtig, dass die
> Zahlen, die du da jeweils mittels "seien x, y und z
> reelle
> Zahlen mit ..." einführst, jeweils tatsächlich
> existieren
> müssen und eindeutig festgelegt sind.
> Eine entsprechende Begründung ist notwendig für diese
> Beweise.
>
> LG , Al-Chw.
>
>
Hallo Al-Chw.,
herzlichen Dank für die schnelle Antwort. Also soll ich z. B. sagen "Seien $x [mm] \in [/mm] R$ und $a,b [mm] \in [/mm] R^+$ mit [mm] $e^x=ab$, [/mm] was durch $ln(ab) = x$ eindeutig gelöst wird, da ln bijektiv ist."?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 So 22.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo MaxHBB
> >
> >
> >
> > Du bist im Wesentlichen auf dem richtigen Weg. Ein sehr
> > wichtiger Punkt fehlt aber noch. Es ist wichtig, dass
> die
> > Zahlen, die du da jeweils mittels "seien x, y und z
> > reelle
> > Zahlen mit ..." einführst, jeweils tatsächlich
> > existieren
> > müssen und eindeutig festgelegt sind.
> > Eine entsprechende Begründung ist notwendig für
> diese
> > Beweise.
> >
> > LG , Al-Chw.
> >
> >
>
> Hallo Al-Chw.,
>
> herzlichen Dank für die schnelle Antwort. Also soll ich
> z. B. sagen "Seien [mm]x \in R[/mm] und [mm]a,b \in R^+[/mm] mit [mm]e^x=ab[/mm], was
> durch [mm]ln(ab) = x[/mm] eindeutig gelöst wird, da ln bijektiv
> ist."?
so in etwa - ich würde die Reihenfolge auch ändern:
Seien $a,b [mm] \in R^+\,.$ [/mm] Dann ist auch $ab [mm] \in R^+\,.$ [/mm] (Denn natürlich könnte auch
$ab [mm] \in [/mm] R^+$ sein, wenn $a [mm] <0\,$ [/mm] und $b < 0$ - daher sollte man die Eigenschaften
von [mm] $a\,$ [/mm] bzw. [mm] $b\,$ [/mm] zuvor erwähnen, und nicht hintendran!)
Somit gilt, weil [mm] $\exp \colon \;\IR \to \IR^+$ [/mm] bijektiv ist (die zugehörige Umkehrfunktion
wird ja gerade mit [mm] $\ln\colon \;\IR^+ \to \IR$ [/mm] bezeichnet):
Zu $x:=ab [mm] \in [/mm] R^+$ existiert genau ein $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\exp(r)=ab$ [/mm] - nämlich [mm] $r:=\ln(ab)\,.$
[/mm]
Das ist jetzt etwas stark ausführlich: Wenn Du eh schon weißt, dass [mm] $\exp \colon \;\IR \to \IR^+$ [/mm]
bijektiv ist und dann mit [mm] $\ln \colon \;\IR^+ \to \IR$ [/mm] die Umkehrfunktion [mm] $\exp^{-1}\colon \;\IR^+ \to \IR$ [/mm] bezeichnest,
so hast Du natürlich mit [mm] $r:=\ln(ab)$ [/mm] gerade ein - und auch das einzige - $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\exp(r)=ab$ [/mm] angegeben. Begründen brauchst Du dann nichts mehr, denn die zu ergänzenden
Begründungen stecken dann schon in der Tatsache fest, dass die oben stehende
Funktion [mm] $\exp$ [/mm] bijektiv ist:
Wäre sie nicht surjektiv, so dürftest Du bei [mm] $\ln:=\exp^{-1}$ [/mm] nicht den Definitionsbereich
[mm] $\IR^+$ [/mm] nehmen. Wäre sie nicht injektiv, so wäre die von Al erwähnte "Eindeutigkeit"
problembehaftet...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 22.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Okay danke schön, ich denke das habe ich soweit verstanden. Also könnte man das wohl auch so strukturieren:
Seien $a,b [mm] \in [/mm] R^+$ und sei $ln: [mm] \IR^+ \to \IR [/mm] ; x [mm] \mapsto [/mm] ln(x)$ die natürliche Logarithmusfunktion.
Dann gelten folgende Eigenschaften:
1.
2.
3.
Beweis
Danke für die Antworten
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Mo 23.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay danke schön, ich denke das habe ich soweit
> verstanden. Also könnte man das wohl auch so
> strukturieren:
> Seien [mm]a,b \in R^+[/mm] und sei [mm]ln: \IR^+ \to \IR ; x \mapsto ln(x)[/mm]
> die natürliche Logarithmusfunktion.
ja, ich würde halt dazuschreiben, dass [mm] $\exp \colon \;\IR \to \IR^+$ [/mm] bijektiv ist
und dass [mm] $\ln:=\exp^{-1}\,.$
[/mm]
> Dann gelten folgende Eigenschaften:
> 1.
> 2.
> 3.
> Beweis
>
> Danke für die Antworten
Jupp!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 23.09.2013 | | Autor: | MaxHBB |
Alles klar, danke!
|
|
|
|
