Beweis der Produktregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 So 09.09.2007 | | Autor: | fritte |
| Aufgabe | f(x)= u(x) * v(x)
als Ergebnis für f'(x):
f'(x)= u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) |
Hallo zusammen,
wir haben bei uns im Mathe Lk den Beweis für die Produktregel duchgeführt und besprochen. Ich kann diese auch anwenden allerdings kann ich den ´Beweis nicht nachvollziehen. Um Die Produktregel zu beweisen benutzten wir die h-Schreibweise.
Könnte vll. jemand von euch mir den Beweis Schritt für Schritt erklären und sagen was er gemacht hat und warum es es gemacht hat.
Vielen dank im vorraus
Gruß Marcel
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Hallo Marcel,
da ich "euren" Beweis nicht kenne, schlage ich diese Variante vor.
Mit der h-Methode:
zz ist [mm] f(x)=u(x)\cdot{}v(x)\Rightarrow f'(x)=u'(x)\cdot{}v(x)+u(x)\cdot{}v'(x)
[/mm]
Wir berechnen also [mm] \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Falls der existiert, so ist er f'(x)
Also setzen wir ein:
[mm] \lim\limits_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot{}v(x+h)-u(x)\cdot{}v(x)}{h}
[/mm]
Nun addieren wir eine "nahrhafte Null" im Zähler:
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{u(x+h)\cdot{}v(x+h)\red{\overbrace{-u(x)\cdot{}v(x+h)+u(x)\cdot{}v(x+h)}^{=0}}-u(x)\cdot{}v(x)}{h}
[/mm]
Das nun umsortieren im Zähler:
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{\left[u(x+h)\cdot{}v(x+h)-u(x)\cdot{}v(x+h)\right]+\left[u(x)\cdot{}v(x+h)-u(x)\cdot{}v(x)\right]}{h}
[/mm]
Nun ausklammern im Zähler
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{v(x+h)\left[u(x+h)-u(x)\right]+u(x)\left[v(x+h)-v(x)\right]}{h}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\left(\frac{v(x+h)\left[u(x+h)-u(x)\right]}{h}+\frac{u(x)\left[v(x+h)-v(x)\right]}{h}\right) [/mm] Bruchrechnung
Nun sind u,v nach Voraussetzung selber auch diffbar, also können wir den limes auseinanderziehen
[mm] =\lim\limits_{h\to 0}\frac{v(x+h)\left[u(x+h)-u(x)\right]}{h}+\lim\limits_{h\to 0}\frac{u(x)\left[v(x+h)-v(x)\right]}{h}
[/mm]
[mm] =\left(\lim\limits_{h\to 0}v(x+h)\cdot{}\lim\limits_{h\to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)+\left(\lim\limits_{h\to 0}u(x)\cdot{}\lim\limits_{h\to 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}\right)
[/mm]
[mm] =v(x)\cdot{}u'(x)+u(x)\cdot{}v'(x)
[/mm]
Da u und v diffbar sind, ist das deren limes des Diffquotienten gerade u'(x) und v'(x)
LG
schachuzipus
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