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Forum "Zahlentheorie" - Beweis der Teilbarkeit
Beweis der Teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis der Teilbarkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 So 19.10.2014
Autor: zahlenfreund

Aufgabe
Gegeben seien natürliche Zahlen k,m,n ∈ N\ {0}, so dass n = k·m
∀a,b ∈ Z   [mm] (a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n}) [/mm]

Hallo Zusammen,

Ich versuche gerade die oben gestellte Aussage zu beweisen, aber als Neuling der Mathematik fällt es mir nicht einfach. Ich poste mal direkt meinen Ansatz.
Die Teilbarkeit bedeutet es existiert ein d  ∈ Z mit [mm] (a^{n}-b^{n})=d (a^{m}-b^{m}). [/mm]
Beweis mit Induktion über k:
Für k=1 ist n=m und damit d=1.
Induktionsschritt: von k zu k+1, daraus folgt n=(k+1)m= km+m

[mm] (a^{m}-b^{m})|(a^{km+m}-b^{km+m}). [/mm]

Und genau hier komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht könnt ihr mir einen Hinweis geben.
Mit freundlichen Grüßen zahlenfreund

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Beweis der Teilbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 So 19.10.2014
Autor: abakus


> Gegeben seien natürliche Zahlen k,m,n ∈ N\ {0}, so dass
> n = k·m
> ∀a,b ∈ Z [mm](a^{m}-b^{m})|(a^{n}-b^{n})[/mm]

Hallo,
unter diesen Bedingungen bietet sich eine Substitution [mm] $u=a^m$ [/mm] und [mm] $v=b^m$ [/mm] geradezu an.
Dann hättest du nur zu beweisen, dass [mm] $(u^k-v^k)$ [/mm] stets durch (u-v) teilbar ist.
Gruß Abakus


> Hallo Zusammen,

>

> Ich versuche gerade die oben gestellte Aussage zu beweisen,
> aber als Neuling der Mathematik fällt es mir nicht
> einfach. Ich poste mal direkt meinen Ansatz.
> Die Teilbarkeit bedeutet es existiert ein d ∈ Z mit
> [mm](a^{n}-b^{n})=d (a^{m}-b^{m}).[/mm]
> Beweis mit Induktion über
> k:
> Für k=1 ist n=m und damit d=1.
> Induktionsschritt: von k zu k+1, daraus folgt n=(k+1)m=
> km+m

>

> [mm](a^{m}-b^{m})|(a^{km+m}-b^{km+m}).[/mm]

>

> Und genau hier komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht
> könnt ihr mir einen Hinweis geben.
> Mit freundlichen Grüßen zahlenfreund

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

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