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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Beweis des Flächeninhalts
Beweis des Flächeninhalts < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis des Flächeninhalts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Mo 13.03.2006
Autor: Xnyzer

Aufgabe
Beweise den folgenden Satz:
     Satz. Für den Flächeninhalt eines belibiegen Dreiecks ABC gilt:
               A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ab*sin [mm] \gamma; [/mm] A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bc*sin [mm] \alpha; [/mm] A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ca*sin [mm] \beta; [/mm]

Ich habe mir bereits eine Zeichnung gemacht und die Beweise für rechtwinklige Dreiecke klargemacht, aber ich habe einfach keinen Schimmer, wie ich diesen Satz beweisen soll!
Bin eigentlich sons in Mathe ganz gut, also für ganz dumme müsst ihr es nicht erklären.
Vielen Dank!

(Also ein Lösungsansatz würde mir schon reichen, kann ja auch ein bisschen selbst machen! ;-))

        
Bezug
Beweis des Flächeninhalts: Sinus-/Cosinussatz?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Mo 13.03.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Beweise den folgenden Satz:
>       Satz. Für den Flächeninhalt eines belibiegen Dreiecks
> ABC gilt:
>                 A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ab*sin [mm]\gamma;[/mm] A =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] bc*sin [mm]\alpha;[/mm] A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ca*sin [mm]\beta;[/mm]
>  Ich habe mir bereits eine Zeichnung gemacht und die
> Beweise für rechtwinklige Dreiecke klargemacht, aber ich
> habe einfach keinen Schimmer, wie ich diesen Satz beweisen
> soll!
>  Bin eigentlich sons in Mathe ganz gut, also für ganz dumme
> müsst ihr es nicht erklären.
>  Vielen Dank!
>  
> (Also ein Lösungsansatz würde mir schon reichen, kann ja
> auch ein bisschen selbst machen! ;-))

Kennst du den Sinus- oder den Cosinussatz? Das wäre das einzige, was mir bei Dreiecken und Winkeln einfallen würde... Vielleicht probierst du es mal damit?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Beweis des Flächeninhalts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:29 Di 14.03.2006
Autor: statler

Einen schönen guten Morgen!

> Beweise den folgenden Satz:
>       Satz. Für den Flächeninhalt eines belibiegen Dreiecks
> ABC gilt:
>                 A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ab*sin [mm]\gamma;[/mm] A =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] bc*sin [mm]\alpha;[/mm] A = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ca*sin [mm]\beta;[/mm]
>  Ich habe mir bereits eine Zeichnung gemacht und die
> Beweise für rechtwinklige Dreiecke klargemacht, aber ich
> habe einfach keinen Schimmer, wie ich diesen Satz beweisen
> soll!
>  Bin eigentlich sons in Mathe ganz gut, also für ganz dumme
> müsst ihr es nicht erklären.
>  Vielen Dank!

Wenn du c als Grundseite nimmst, dann ist für die zugehörige Höhe [mm] h_{c} [/mm] einerseits
[mm] \bruch{h_{c}}{a} [/mm] = [mm] sin\beta [/mm]
und andererseits
[mm] \bruch{h_{c}}{b} [/mm] = [mm] sin\alpha. [/mm]
Daraus kann man [mm] h_{c} [/mm] ausrechnen und in die übliche Flächenformel einsetzen, das ergibt 2 von deinen 3 Gleichungen.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
        
Bezug
Beweis des Flächeninhalts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Di 14.03.2006
Autor: Goldener_Sch.

Xnyzer!
...und einen schönen Tag!

Also, mal  zu deinen Formeln:

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*c*sin(\beta) \right[/mm]

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*b*sin(\gamma)\right[/mm]

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*b*c*sin(\alpha)[/mm]

Diese drei Gleichungen enstehen durch das aufteilen eines beliebigen Dreickes in Teildreiecke durch einzeichen der Höhe. Dann werden in den rechtwinkligen Teildreicke Sinusbeziehungen aufgestellt und in die altbekannte Flächenformel

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*g*h_g[/mm]

Nimmst du nun an, die Grundseite sei [mm]c[/mm], dann gilt:

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*c*h_c[/mm]

Wobei du folgendermaßen [mm]h_c[/mm] ersetzen kannst:

[mm]h_c:=a*sin(\beta)[/mm]

oder auch:

[mm]h_c:=b*sin(\alpha)[/mm]

Nimmst du als Grundseite die Seite [mm]a[/mm], dann ist:

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*h_a[/mm]

Dabei kannst du wiederrum [mm]h_a[/mm] so ersetzen:

[mm]h_a:=sin(\gamma)*b[/mm]

...und noch was cooles ;-)

Hast du  [mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*b*sin(\gamma)\right[/mm]

und einen rechten Winkel bei [mm] \gamma, [/mm] dann erhälst du genau die Formel für das rechtwinklige Dreieck, da:

[mm]sin(90)=1[/mm]

und daher:

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*b*1\right[/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm]A=\left \bruch{1}{2}*a*b\right[/mm]


Ich hoffe, ich konnte dir helfen!!!!!!!!!!


Mit den besten (Nachmittags-) Grüßen

Goldener Schnitt

Bezug
                
Bezug
Beweis des Flächeninhalts: Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Di 14.03.2006
Autor: Xnyzer

Mit deiner Hilfe und nach etwa ein stündigem Grübeln habe auch ich es endlich kapiert.

Vielen DANK!! Ohne die Tipps wäre ich nie so weit gekommen!

Bezug
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