Beweis des Infimum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Di 05.12.2006 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | | Seien a, b [mm] \in \IR. [/mm] Man zeige: Wenn [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0: a < b + [mm] \varepsilon, [/mm] dann a [mm] \le [/mm] b. |
Also erstmal würd ich gern wissen, ob meine Vermutung bei dieser Aufgabe richtig ist, ich soll doch zeigen, dass aus dem Infimum folgt, dass es eine größte untere Schranke gibt, in diesem Fall b und a wäre eine weitere untere Schranke, also [mm] a\leb.. [/mm] stimmt das?
Und wie kann man das zeigen? Ich könnte das nur anhand von Definitionen erklären, aber das wäre doch kein Beweis oder?
Gruß Johie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Seien a, b [mm]\in \IR.[/mm] Man zeige: Wenn [mm]\forall \varepsilon[/mm] >
> 0: a < b + [mm]\varepsilon,[/mm] dann a [mm]\le[/mm] b.
Ich würde an diese Aufgabe ganz mit kindlichem Gemüt herangehen und weder über Infimum noch über Folgen nachdenken.
Der Inhalt der Aussage: unter der Voraussetzung, daß a und b so beschaffen sind, daß die Summe aus b und einer beliebig kleinen Zahl immer größer ist als a, ist a [mm] \le [/mm] b.
Beweisen würde ich das per Widerspruch.
Sei für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0: a < b + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Angenommen, es wäre a>b. Dann ist a-b>0.
Mit der Voraussetzung folgt ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 05.12.2006 | | Autor: | Johie |
Würde daraus dann folgen, dass a-b> [mm] \varepsilon [/mm] ist? Und was mach ich dann, ist das überhaupt richtig?
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> Würde daraus dann folgen, dass a-b> [mm]\varepsilon[/mm] ist?
Nein, aber in die richtige Richtung schaust Du schon.
Also: es gelte für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0: a < b + [mm] \varepsilon.
[/mm]
Angenommen, a>b.
Die Voraussetzung gilt für alle [mm] \varepsilon>0, [/mm] also gilt sie insbesondere für [mm] \varepsilon:=a-b>0.
[/mm]
Dh. es ist a<b+... =...
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Johie |
> Die Voraussetzung gilt für alle [mm]\varepsilon>0,[/mm] also gilt
> sie insbesondere für [mm]\varepsilon:=a-b>0.[/mm]
> Dh. es ist a<b+... =...
Ne, das verstehe ich jetzt aber nicht... Wieso fange ich denn nun damit an, dass a wieder kleiner b ist, wenn meine Voraussetzung doch a>b? Jetzt versteh ich nicht wirklich worauf das hinauslaufen soll :(
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> > Die Voraussetzung gilt für alle [mm]\varepsilon>0,[/mm] also gilt
> > sie insbesondere für [mm]\varepsilon:=a-b>0.[/mm]
>
> > Dh. es ist a<b+... =...
>
>
> Ne, das verstehe ich jetzt aber nicht... Wieso fange ich
> denn nun damit an, dass a wieder kleiner b ist,
Nein.
a ist nach Voraussetzung (an welcher wir nicht drehen!) kleiner als b+ ??? =....
Gruß v. Angela
wenn meine
> Voraussetzung doch a>b? Jetzt versteh ich nicht wirklich
> worauf das hinauslaufen soll :(
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Johie |
Also, ich habe das nun so gemacht:
a<b+ [mm] \varepsilon \Rightarrow [/mm] a-(b+ [mm] \varepsilon) [/mm] < 0
[mm] \Rightarrow [/mm] -a+(b+ [mm] \varepsilon) [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (b+ [mm] \varepsilon) [/mm] > a
[mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \ge [/mm] a
Könnte das so richtig sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Fire21 |
Hallo
> Also, ich habe das nun so gemacht:
>
> a<b+ [mm]\varepsilon \Rightarrow[/mm] a-(b+ [mm]\varepsilon)[/mm] < 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] -a+(b+ [mm]\varepsilon)[/mm] > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (b+ [mm]\varepsilon)[/mm] > a
> [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\ge[/mm] a
>
> Könnte das so richtig sein?
Nein, das ist leider kein Beweis für deine Behauptung! Du zeigst auch im Grunde nichts, denn die Aussage in der vorletzten Zeile ist exakt die Aussage mit der du gestartet bist - bloß mit vertauschten Seiten.............
Es geht in deiner Aufgabe darum, die in deinem Aufschrieb letzte Implikation zu zeigen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Johie |
Hilfe!!!
Wie zeige ich das denn? Ich weiß nicht mal wie ich das angehen soll...
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> Hilfe!!!
> Wie zeige ich das denn? Ich weiß nicht mal wie ich das
> angehen soll...
Hallo,
das habe ich Dir in meinen drei vorhergehenden Posts in den Mund bzw. die Finger zu legen versucht.
Es ist $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0: a < b + $ [mm] \varepsilon [/mm] $ die Voraussetzung.
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen, daß [mm] a\leb [/mm] folgt.
Ich legte Dir nahe, einen Beweis durch Widerspruch zu führen, indem Du davon ausgehst, daß die Voraussetzung gilt, jedoch a>b ist.
Für den weiteren Verlauf kann ich mich nur selbst zitieren:
"Die Voraussetzung gilt für alle $ [mm] \varepsilon>0, [/mm] $ also gilt sie insbesondere für $ [mm] \varepsilon:=a-b>0. [/mm] $
Dh. es ist a<b+... =... "
Hier erhältst Du dann einen Widerspruch zur Annahme.
Hast Du denn schon einmal versucht, was passiert, wenn Du das eine spezielle [mm] \varepsilon, [/mm] welches oben definiert wurde, einsetzt? Ich habe nicht den Eindruck...
Gruß v. Angela
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