Beweis des Satzes von Morera < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe folgende Version des Satzes von Morera vor mir liegen:
Sei [mm] U\subseteq \IC [/mm] offen und f:U-> [mm] \IC [/mm] stetig und für jede einschließlich Rand in U gelegene Dreiecksfläche gelte
[mm] \integral_{\gamma}{f(z) dz} [/mm] = 0
für die Randkurve [mm] \gamma [/mm] des Dreiecks. Dann ist f holomorph.
folgendes ist der Beweis dazu: Es genügt, den Satz für eine Kreisscheibe U zu beweisen, weil Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist. Sei also OBdA
U={z | |z|=r}.
Setze [mm] \alpha [/mm] z(t):=tz.
Dann ist
[mm] F(z):=\integral_{\alpha z}{f(z) dz} [/mm] eine Stammfunktion von f(z, denn für z0 aus U und
[mm] \beta [/mm] z(t):)= (1-t)*z0+tz ist
[mm] \bruch{F(z)-F(z0}{z-z0}=...=\integral_{0}^{1}{f((1-t)*z0+tz) dx} [/mm] und das geht für z->z0 gegen f(z0), womit die Holomorphie von F bewiesen wäre und f die Ableitung von F ist.
Da f die Ableitung einer holomorphen Funktion, ist f nach dem Satz von Goursat selbst holomorph.
[mm] \Box
[/mm]
Ich verstehe nur nicht, wo die Vorraussetzung eingeht, dass das Integral von f über die Randkurven der in U gelegenen Dreiecke gleich Null sein muss!
Vielen dank für Hilfe im voraus,
Natalie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 30.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Natalie!
> Ich habe folgende Version des Satzes von Morera vor mir
> liegen:
>
> Sei [mm]U\subseteq \IC[/mm] offen und [mm]f:U \rightarrow \IC[/mm] stetig und für jede
> einschließlich Rand in U gelegene Dreiecksfläche gelte
>
> [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz} = 0 [/mm]
>
> für die Randkurve [mm]\gamma[/mm] des Dreiecks. Dann ist f holomorph.
>
> folgendes ist der Beweis dazu: Es genügt, den Satz für eine
> Kreisscheibe U zu beweisen, weil Holomorphie eine lokale
> Eigenschaft ist. Sei also OBdA
> [mm] U=\{z\mid |z|\leq r\}. [/mm]
> Setze [mm]\alpha z(t):=tz[/mm].
> Dann ist
> [mm]F(z):=\integral_{\alpha z}{f(z) dz}[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f(z)[/mm], denn für [mm]z_0[/mm] aus U und
> [mm]\beta z(t):= (1-t)*z_0+tz[/mm] ist
>
> [mm]\bruch{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=...=\integral_{0}^{1}{f((1-t)*z_0+tz) dt}[/mm]
> und das geht für [mm]z\rightarrow z_0[/mm] gegen [mm]f(z_0)[/mm], womit die Holomorphie
> von F bewiesen wäre und f die Ableitung von F ist.
> Da f die Ableitung einer holomorphen Funktion, ist f nach
> dem Satz von Goursat selbst holomorph.
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ich verstehe nur nicht, wo die Vorraussetzung eingeht, dass
> das Integral von f über die Randkurven der in U gelegenen
> Dreiecke gleich Null sein muss!
Bei der Herleitung der Gleichung für den Differenzenquotienten wird über das Dreieck mit den Eckpunkten 0, z und [mm]z_0[/mm] integriert. Das Integral entlang der Strecke von 0 bis z ergibt F(z), das Integral entlang der Strecke von 0 bis [mm]z_0[/mm] ergibt [mm]F(z_0)[/mm], und das Integral entlang [mm]\beta z(t)[/mm] ergibt nach der Substitution [mm]z\mapsto(1-t)*z_0+tz[/mm] gerade
[mm](z-z_0)*\integral_{0}^{1}{f((1-t)*z0+tz) dt}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
