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Beweis durch Argumentation: Konstanter Flächeninhalt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Sa 11.06.2011
Autor: matheman

Aufgabe
Zeige: Die vom Graphen der Funktion [mm] f_{k}(x)=k*sin(k*x), x\in[0;\bruch{\pi}{k}], k\in\IR^{+} [/mm] und der x-Achse eingeschlossene Fläche hat für alle k denselben Inhalt.
Wie läßt sich dies auch ohne Rechnung zeigen?

Hallo,

mit Rechnung ist das ganze keine Problem (A=2 f.a. k). Wie muss man argumentieren, wenn "ohne Rechnung" gefragt ist?

matheman

        
Bezug
Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Sa 11.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Zeige: Die vom Graphen der Funktion [mm]f_{k}(x)=k*sin(k*x), x\in[0;\bruch{\pi}{k}], k\in\IR^{+}[/mm]
> und der x-Achse eingeschlossene Fläche hat für alle k
> denselben Inhalt.
>  Wie läßt sich dies auch ohne Rechnung zeigen?
>  Hallo,
>  
> mit Rechnung ist das ganze keine Problem (A=2 f.a. k). Wie
> muss man argumentieren, wenn "ohne Rechnung" gefragt ist?
>  
> matheman


Hi matheman,

mach dir klar, durch welche aufeinander folgenden geo-
metrischen Transformationen man aus dem Flächenstück
für den Fall k=1 dasjenige für einen beliebigen Wert von k
erzeugen kann und wie sich bei diesen Abbildungen die
Flächeninhalte transformieren.
Zuerst also mal eine Zeichnung erstellen !

LG    Al-Chw.


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Beweis durch Argumentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 11.06.2011
Autor: matheman

Hallo AL,
ich hatte mir schon überlegt, dass sich für k=2,3, ...  die Amplitude ver 2,3-...facht und die Strecke von 0 bis zur ersten pos. Nullstelle halbiert wird bzw. nur noch 1/3 usw. beträgt. Die entstehenden "Berge" werden immer höher und gleichzeitig immer schmaler. Soviel war mir klar. Aber warum sollten die Flächen ausgerechnet gleich sein?
matheman

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Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Sa 11.06.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo AL,
>  ich hatte mir schon überlegt, dass sich für k=2,3, ...  
> die Amplitude ver 2,3-...facht und die Strecke von 0 bis
> zur ersten pos. Nullstelle halbiert wird bzw. nur noch 1/3
> usw. beträgt. Die entstehenden "Berge" werden immer höher
> und gleichzeitig immer schmaler. Soviel war mir klar. Aber
> warum sollten die Flächen ausgerechnet gleich sein?
>  matheman

Hallo matheman,

die gesamte Kurve und das zwischen ihr und der x-Achse
eingeschlossene Flächenstück werden nacheinander zwei
axialen Streckungen (affine Abbildungen) unterworfen.
Der Flächeninhalt des Segments wird dabei entsprechend
dem jeweiligen Streckungsfaktor multipliziert. Der ursprüng-
liche Flächeninhalt A wird also durch die erste (horizontale)
Streckung mit dem Faktor [mm] \frac{1}{k} [/mm] auf [mm] \frac{A}{k} [/mm] reduziert und durch die
folgende Streckung in vertikaler Richtung mit dem Faktor k
wieder auf [mm] $\frac{A}{k}*k\ [/mm] =\ A$ gebracht.

LG    Al-Chw.


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Beweis durch Argumentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Sa 11.06.2011
Autor: matheman

So richtig kapier ich's noch nicht. Es will mir nicht recht einleuchten (nicht von der Rechnung her), warum ich einfach die obere Integralgrenze z.B halbieren darf, wenn ich statt x 2x schreibe, also z.B.


[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}=2*\integral_{0}^{\pi/2}{sin(2x) dx} [/mm]

Die Funktion sin(2x) hat doch z.B. auch eine andere Krümmung als sin(x) ?!?

Bezug
                                        
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Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Sa 11.06.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> So richtig kapier ich's noch nicht. Es will mir nicht recht
> einleuchten (nicht von der Rechnung her), warum ich einfach
> die obere Integralgrenze z.B halbieren darf, wenn ich statt
> x 2x schreibe, also z.B.
>  
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}=2*\integral_{0}^{\pi/2}{sin(2x) dx}[/mm]

stell' Dir halt vor, Du fährst mit einem Auto in konstanter Geschwindigkeit. Wenn Du doppelt so schnell fährst, bist Du in der halben Zeit am Ziel. Mathematisch ist das ganze natürlich nur eine Substitution.

Beachte: Eigentlich wirkt sich die Substitution auch auf die untere Grenze aus. Wegen [mm] $0/2=0\,$ [/mm] siehst Du das hier nur nicht direkt!

(Ergänzung: Wenn Du substituierst, etwa [mm] $x=2t\,,$ [/mm] dann steht oben wegen $dx=2dt$ sodann
[mm] $$\int_{x=0}^{x=\pi} \sin(x) dx=\int_{t=0/2}^{t=\pi/2}\sin(2t)dx=\int_{t=0/2}^{t=\pi/2}\sin(2t)2dt=2\int_{t=0/2}^{t=\pi/2}\sin(2t)dt\,.$$ [/mm]
Beachte auch: $x=0 [mm] \gdw [/mm] t=0/2=0$ und [mm] $x=\pi \gdw 2t=\pi \gdw t=\pi/2\,.$ [/mm] Also: Meine Aussage mit "doppelt so schnell fahren, dann ist man in der halben Zeit am Ziel" erkennst Du daran, dass die neuen Integrationsgrenzen "halbiert" wurden! Der Faktor [mm] $2\,$ [/mm] besagt dabei nun, dass man, wenn man die Fläche zwischen zwei [mm] $t\,$-Werten [/mm] betrachtet und diese mit Approximations-Rechtecken, deren untere Seite im gleichen Verhältnis zu der Approximation der [mm] $\sin(. [/mm] )$-Funktion zwischen zugehörigen [mm] $x=2t\,$-Werten [/mm] betrachtet, doppelt so hoch breit wählen muss, damit "die Streckung auch die Approximation (bzgl. [mm] $\blue{f(x)}$) [/mm] richtig beschreibt".

Geometrisch:
Mal Dir mal den Graph $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] zwischen [mm] $x=0\,$ [/mm] und [mm] $x=\pi$ [/mm] auf, und mal Dir "Rechtecke hin, die die Fläche dieses Graphen mit der x-Achse" approximieren.
Jetzt mal Dir mal den Graphen von $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm] hin, und versuche quasi, alles bei diesem "verzerrten Bild" analog abzutragen. Wenn Du im ersten Bild ein Rechteck abgetragen hast, wie sieht das analoge Rechteck im zweiten Bild aus? Wenn's unklar ist, versuche ich nachher mal, ein Bild nachzutragen. Dann wird's klarer, denke ich.)

Geometrisch kannst Du Dir das so vorstellen:
Bei $x [mm] \mapsto \sin(2x)$ [/mm] wird der Graph von $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] entlang der x-Achse gestaucht. Vergleichst Du die Graphen miteinander, so ist etwa die Frage, welchen x-Wert bei [mm] $y=\sin(2x)$ [/mm] einzutragen ist, so dass dieser y-Wert der gleiche ist wie der [mm] $\tilde{y}$-Wert [/mm] von [mm] $\tilde{y}=\sin(\tilde{x})\,.$ [/mm] Das ist für [mm] $2x=\tilde{x}$ [/mm] bzw. [mm] $x=\tilde{x}/2$ [/mm] der Fall. Anders gesagt:
Bei [mm] $y=\sin(2x)$ [/mm] werden, wenn man diese Funktion mit [mm] $\tilde{y}=\sin(\tilde{x})$ [/mm] vergleicht, die [mm] $\tilde{y}$-Werte [/mm] schon bei [mm] $\tilde{x}/2$ [/mm] angenommen.
  

> Die Funktion sin(2x) hat doch z.B. auch eine andere
> Krümmung als sin(x) ?!?

Natürlich. Aber wie kommt etwa die Integralrechnung (naiv) zustande? Indem man "Flächen unter Graphen" durch "Rechtecke approximiert". Hier wurde, wenn ich mich recht erinnere, entlang einer Achse um den Faktor [mm] $1/2\,$ [/mm] gestaucht, entlang der anderen um [mm] $2\,$ [/mm] gestreckt.

Vergleichst Du nun ein Rechteck mit Seitenlängen [mm] $a,b\,$ [/mm] mit einem Rechteck mit Seitenlängen [mm] $\tilde{a}=a/2\,, \tilde{b}=2b\,,$ [/mm] so haben die beiden den gleichen Flächeninhalt. Geometrisch kannst Du das sicher auch nachweisen (sollte elementar und schnell gehen), algebraisch ist es wegen
[mm] $$\tilde{a}\tilde{b}=(a/2)*2b=ab\,$$ [/mm]
klar. (Analoges könnte man sich auch für Dreiecke etc. überlegen.)

Gruß,
Marcel

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Beweis durch Argumentation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:09 Sa 11.06.2011
Autor: matheman

Oha. Das muss ich erstmal in Ruhe durchlesen. Wenn du noch ein Bild hast, kannst du es ja reinstellen.
Ich habe versucht, mir in der Zwischenzeit das Ganze anhand von anderen Funktionen (nach unten geöffnete Parabeln) deutlich zu machen. Dort müßte es doch auch klappen, wenn man die Graphen ansieht. Bloß bin bei der Wahl der Parameter noch nicht am Ende....
Grübel ...
matheman

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Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Sa 11.06.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Oha. Das muss ich erstmal in Ruhe durchlesen. Wenn du noch
> ein Bild hast, kannst du es ja reinstellen.
>  Ich habe versucht, mir in der Zwischenzeit das Ganze
> anhand von anderen Funktionen (nach unten geöffnete
> Parabeln) deutlich zu machen. Dort müßte es doch auch
> klappen, wenn man die Graphen ansieht. Bloß bin bei der
> Wahl der Parameter noch nicht am Ende....

mach's nicht zu kompliziert für den Anfang:
Betrachte doch erstmal [mm] $y=a*(px)^2$ [/mm] mit $a> 0$ fest für verschiedene (vielleicht erstmal positive ganze) Zahlen [mm] $p\,.$ [/mm]

Gruß,
Marcel

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Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Sa 11.06.2011
Autor: Event_Horizon

Hallo!

na, vielleicht solltes du dir noch einfachere Funktionen aussuchen. Was ist damit:


[mm]f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor[/mm]

oder auf deutsch: f(x) ist immer der auf die nächste ganze Zahl ABGERUNDETE Wert von x. Damit bekommst du eine stufenförmige Funktion, die bei x=1 auf y=1 spring, bei x=2 auf y=2, ...

Machst du daraus

[mm]g(x)=\left \lfloor 2*x \right \rfloor[/mm]

so springt die Funktion bereist für x=0,5 auf 1, für x=1 auf 2, für x=1,5 auf 3...

Jetzt berechne mal die Fläche unter der Funktion  von 0 bis 4 bzw von 0 bis 2. Das geht ganz einfach, weil es eine Aneinanderreihung von Rechtecken ist!


Und: Integrieren solltest du über das Bilden von Unter/Obersummen kennengelernt haben, das ist in etwa das gleiche wie hier, und daher gilt das für alle Integrale.


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Beweis durch Argumentation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Sa 11.06.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Und: Integrieren solltest du über das Bilden von
> Unter/Obersummen kennengelernt haben, das ist in etwa das
> gleiche wie hier, und daher gilt das für alle Integrale.

daher auch mein Hinweis darauf, "was mit Rechtecken passiert". :-)

Gruß,
Marcel  


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Beweis durch Argumentation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Sa 11.06.2011
Autor: Marcel

Hallo,

die Rechteckapproximation hatte ich eigentlich falsch erklärt oder angedeutet (mittlerweile korrigiert, ich weiß nur noch nicht, ob ich's überall korrigiert habe -ggf. wäre ein Hinweis nett, falls nicht). Betrachtest Du eine Funktion der Form [mm] $f(x)\,$ [/mm] im Vergleich mit einer Funktion der Form $g(x)=f(n*x)$ mit $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so sind die Rechtecke bzgl. der Approximation des Graphen unter [mm] $f(x)\,$ [/mm] gerade [mm] $n\,$-Mal [/mm] die Rechtecke der Approximation des Graphen unter [mm] $g(x)=f(n*x)\,,$ [/mm] weil der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] entlang der $x$-Achse um den Faktor $n$ gestaucht wurde, um den Graph von [mm] $g\,$ [/mm] zu erhalten.

Damit es klarer wird:
Hier siehst Du ein (blaues) Rechteck, was den Graphen von [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] zwischen [mm] $x_1=\pi/6$ [/mm] und [mm] $x_2=5\pi/6\,$ [/mm] (natürlich nur sehr schlecht) approximiert:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Hier siehst Du ein (schwarzes) Rechteck, was den Graphen von [mm] $g(x)=f(2x)=\sin(2x)$ [/mm] zwischen [mm] $\tilde{x}_1=\pi/12$ [/mm] und [mm] $\tilde{x}_2=5\pi/12\,$ [/mm] (natürlich nur sehr schlecht) approximiert:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wenn Du das schwarze Rechteck verdoppelst (entlang der $x$-Achse), so erhälst Du das blaue.

Analoges mache halt mal mit [mm] $\sin(nx)$ [/mm] im Vergleich mit [mm] $\sin(x)$ [/mm] und meinetwegen auch mit mehreren Rechtecken...

P.S.:
Analoges kann man auch machen, wenn man [mm] $f(x)\,$ [/mm] mit [mm] $g(x)=f(px)\,$ [/mm] und $p > 0$ vergleicht. Ein [mm] $f\,$-Rechteck [/mm] hat dann den gleichen Flächeninhalt wie ein zugehöriges [mm] $g\,$-Rechteck, [/mm] wenn man das [mm] $f\,$-Rechteck [/mm] hernimmt und deren Seitenlänge, die es entlang der $x-$Achse hat, mit [mm] $p\,$ [/mm] multipliziert.
Denn dieses zugehörige [mm] $g\,$-Rechteck [/mm] hat ja gerade nur das [mm] $1/p\,$-Fache [/mm] der Länge des entsprechenden [mm] $f\,$-Rechtecks, [/mm] aber die gleiche Höhe wie das [mm] $f\,$-Rechteck. [/mm]  

(Oben: Das schwarze Rechteck hat die doppelte Breite des blauen Rechtecks, aber die gleiche Höhe.)

Gruß,
Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                
Bezug
Beweis durch Argumentation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Sa 11.06.2011
Autor: matheman

Jau. Super. Jetzt hab' ich's.
Vielen Dank dafür und Grüße
matheman

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