Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mi 12.03.2008 | | Autor: | sirtpx |
| Aufgabe | Die Folge [mm] b_{n} [/mm] ist rekursiv gegeben durch
[mm] b_{0} [/mm] = 1; [mm] b_{n}=b_{(n-1)} [/mm] + 0,2 * (5 - [mm] b_{(n-1)} [/mm] ) für n [mm] \ge [/mm] 1.
Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm] \ge [/mm] 0 gilt: [mm] b_{n}= [/mm] 5 - 4 * [mm] 0,8^{n}
[/mm]
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Mir fehlt bei der Bearbeitung der Frage der Ansatz. Könnte mir jemand behilflich sein? Danke schon im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Brinki |
Beginne mit dem Induktionsanfang:
Setzte für den Index n die Zahl 1 ein - dann musst Du für [mm] b_{0} [/mm] die Zahl 1 einsetzten und zeigen, dass beide Terme - der rekursiv definierte und der explizit gegebene - den gleichen Wert liefern.
Dann kommt der Induktionsschritt. Er besteht aus zwei Teilen: Induktionsannahme und Induktionsschluss. Forme beim Induktionsschluss den rekursiven Term so um, dass du nach der Induktionsannahme einen Teil durch die explizite Formel ersetzen kannst. Mit etwas Rechnerei kannst du dann den verbleibenden Ausdruck in die explizite Form überführen.
Das ist alles sehr abstrakt. Etwas Übung benötigst Du schon. Anbei ein ausführliches Beispiel.
Grüße
Brinki
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mi 12.03.2008 | | Autor: | sirtpx |
Der erste Part ist mir schon klar. Durch Einsetzen zeigt man dass beide Terme den selben Wert liefern.
Jedoch fehlt mir der Ansatz speziell in dem Fall, da es sich um eine rekursive Folge handelt, zum Erstellen des Induktionsschrittes. Hat jemand hierzu eine Anregung für mich bzw. eine allgemeine Erläuterung wie man dies bei rekursiven Folgen tut?
Vielen Dank für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 12.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Jedoch fehlt mir der Ansatz speziell in dem Fall, da es
> sich um eine rekursive Folge handelt, zum Erstellen des
> Induktionsschrittes. Hat jemand hierzu eine Anregung für
> mich bzw. eine allgemeine Erläuterung wie man dies bei
> rekursiven Folgen tut?
Nicht anders als bei explizit gegebenen Folgen: du nimmst an, dass [mm] $b_{n-1} [/mm] = [mm] \dots$ [/mm] gilt und setzt dies in die Formel für [mm] $b_n$ [/mm] als Funktion von [mm] $b_{n-1}$ [/mm] ein. Dann rechnest du nach, dass für [mm] $b_n$ [/mm] das Richtige herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Fr 14.03.2008 | | Autor: | sirtpx |
| Aufgabe | - bei der rekursiven Folge habe ich folgendes raus: [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5} [/mm] * [mm] b_{n-1} [/mm] + 1
- bei der expliziten Folge: [mm] b_{n} [/mm] = 5 - 4 * [mm] 0,8^{n}
[/mm]
So jetzt hab ich beide Terme plus das Folgeglied gleichgesetzt:
[mm] (\bruch{4}{5} [/mm] * [mm] b_{n-1})+ [/mm] 1) + [mm] \bruch{4}{5} [/mm] * ( [mm] \bruch{4}{5} [/mm] * [mm] b_{n-1} [/mm] )+ 1) + 1 = (5 - 4 * [mm] 0,8^{n}) [/mm] + (5 - 4 * [mm] 0,8^{n+1})
[/mm]
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Ist das soweit schon richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Fr 14.03.2008 | | Autor: | klaras |
> - bei der rekursiven Folge habe ich folgendes raus: [mm]b_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{4}{5}[/mm] * [mm]b_{n-1}[/mm] + 1
>
> - bei der expliziten Folge: [mm]b_{n}[/mm] = 5 - 4 * [mm]0,8^{n}[/mm]
>
> So jetzt hab ich beide Terme plus das Folgeglied
> gleichgesetzt:
>
> [mm](\bruch{4}{5}[/mm] * [mm]b_{n-1})+[/mm] 1) + [mm]\bruch{4}{5}[/mm] * (
> [mm]\bruch{4}{5}[/mm] * [mm]b_{n-1}[/mm] )+ 1) + 1 = (5 - 4 * [mm]0,8^{n})[/mm] + (5 -
> 4 * [mm]0,8^{n+1})[/mm]
>
>
> Ist das soweit schon richtig?
Also die allgemeine Idee ist, dass du es für ein n aus [mm] \IN
[/mm]
zeigst und dann den Schritt von n auf n+1 machst.
Induktionsanfang:
Für n=0 ist die Rekursive Form [mm] b_{0} [/mm] = 1
und bei der expliziten Form $5 - 4 * [mm] 0.8^{0} [/mm] = 1$.
Induktionsschritt:
Sei n aus [mm] \IN. [/mm] Es gelte [mm] $b_{n} [/mm] = 5 - 4* [mm] 0,8^{n} [/mm] $ (IV)
von n -> n+1
$ [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{(n+1)-1} [/mm] + 0,2 * (5 - [mm] b_{(n+1)-1}) [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] + 0,2 * (5 - [mm] b_{n}) [/mm] $
Nun kommt die IV ins Spiel:
$ [mm] b_{n} [/mm] + 0,2 * (5 - [mm] b_{n}) [/mm] = [mm] 5-4*0,8^{n} [/mm] + [mm] 0,2*(5-(5-4*0,8^{n})) [/mm] $
Das Ziel ist es, zu zeigen, dass $ [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] 5-4*0,8^{n+1}$ [/mm] ist. Jetzt noch die obige Formel ein bischen bearbeiten.
Gruß
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