Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Piatty |
| Aufgabe | Definiere eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] rekursiv durch
[mm] a_{0} [/mm] :=2
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}^{2}+2}{2a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Beweise durch Induktion die folgenden Aussagen:
i) [mm] a_{n} [/mm] > 0
ii) [mm] a^{2}_{n} \ge [/mm] 2
iii) [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] (monoton fallend)
iv) a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] erfüllt [mm] a^{2} [/mm] =2 |
Hallo
ich weiß nicht wie ich das angehen soll... Weder wie ich die Funktion aufstelle, noch wie ich die Aussagen durch Induktion beweisen soll.
Danke schonmal für eure Hilfe
|
|
| |
|
Hallo Janika,
> Definiere eine Folge [mm](a_{n})[/mm] rekursiv durch
> [mm]a_{0}[/mm] :=2
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n}^{2}+2}{2a_{n}}[/mm] = [mm]\bruch{a_{n}}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{a_{n}}[/mm]
>
> Beweise durch Induktion die folgenden Aussagen:
> i) [mm]a_{n}[/mm] > 0
> ii) [mm]a^{2}_{n} \ge[/mm] 2
> iii) [mm]a_{n+1} \le a_{n}[/mm] (monoton fallend)
> iv) a = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] erfüllt [mm]a^{2}[/mm]
> =2
> Hallo
> ich weiß nicht wie ich das angehen soll... Weder wie ich
> die Funktion aufstelle, noch wie ich die Aussagen durch
> Induktion beweisen soll.
Wie jetzt?
Wie eine Iduktion geht, weißt du aber?
Ich zeig's dir mal für (i), dann hast du eine Anregung und machst weiter, ok? ...
Beh.: [mm] $a_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Bew.: IA: [mm] $\red{n=0}$:
[/mm]
es ist [mm] $a_{\red{0}}=2>0$
[/mm]
Damit ist der IA erfüllt.
IS: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Sei [mm] $n\in\IN$ [/mm] beliebig und gelte: [mm] $\blue{a_n>0}$ [/mm] (IV)
Dann ist zu zeigen, dass gefälligst auch [mm] $a_{n+1}>0$ [/mm] ist
Das macht man unter Verwendung der IV und der rekursiven Definition der Folge:
[mm] $a_{n+1}\underbrace{=}_{\text{nach Def.}}\underbrace{\frac{\blue{a_n}}{2}}_{>0, \ \text{da} \ a_n>0 \ \text{nach IV}}+\underbrace{\frac{2}{\blue{a_n}^2}}_{>0, \ \text{da} \ a_n>0 \ \text{nach IV}}>0$
[/mm]
Also [mm] $a_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN_0$
[/mm]
Die anderen Teile gehe mal an.
Eine kleine Bem. noch: mit (i) und (iii) weißt du, dass die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, damit ist sie konvergent.
Den GW a kannst du bestimmen durch [mm] $a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$ [/mm] ... (siehe iv)
> Danke schonmal für eure Hilfe
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Piatty |
MIr ist klar wie ich eine Induktion durchführe, aber meine Frage ist eher, wie ich die Folge definiere und zur verständnis was rekursiv bedeutet....
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> MIr ist klar wie ich eine Induktion durchführe, aber meine
> Frage ist eher, wie ich die Folge definiere
die ist doch in der AUfgabstellung (rekursiv) definiert.
Eine explizite Darstellung [mm] $a_n=\frac{23n^2+4}{n^3}$ [/mm] oder sowas brauchst du nicht
> und zur verständnis was rekursiv bedeutet....
Eine Folge ist rekursiv definiert, wenn ein Anfangsglied (hier [mm] $a_0$) [/mm] definiert ist und eine Vorschrift, wie du ein [mm] $a_n$ [/mm] aus dem oder den vorherigen Folgenglied(ern) berechnen kannst, hier [mm] $a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{a_n}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Piatty |
bei der iii)
ich nehme an das [mm] a_{1} \le a_{0}
[/mm]
wie beweise ich dies? ich habe ja nur [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_{0} [/mm] angegeben...
und bei der ii)
darf ich wenn ich [mm] a^{2} [/mm] _{0} habe auch sagen dass dies =4 ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Janika,
> bei der iii)
>
> ich nehme an das [mm]a_{1} \le a_{0}[/mm]
> wie beweise ich dies? ich
> habe ja nur [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_{0}[/mm] angegeben...
Es ist ja [mm] $a_0=2$ [/mm] vorgegeben, daraus: [mm] $a_1=\frac{a_0}{2}+\frac{1}{a_0}=\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ [/mm] nach der rekursiven Definition.
Damit [mm] $1,5=a_1\le a_0=2$, [/mm] also ist der IA für $n=1$ gezeigt.
Weiter nun mit dem Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$
>
> und bei der ii)
> darf ich wenn ich [mm] $a_0^2$ [/mm] habe auch sagen dass dies =4
> ist?
Klar, denn [mm] $a_0=2$ [/mm] ist ja per definitionem gegeben, folglich [mm] $a_0^2=2^2=4$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Piatty |
Es tut mir leid, aber mir ist das immer noch nciht klar.
wenn ich [mm] a_{1} [/mm] bewiesen habe, kann ich immernohc nciht [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] beweisen, da mir doch der wert [mm] a_{n} [/mm] fehtl.
und kann es sein das ii) nicht stimmt????
die induktionsannahme stimmt wenn ich dann aber [mm] \bruch{a_{n}}{4}+1+\bruch{1}{a^{2}_{n}} [/mm] aber ich weiß ja nur das der erste term größer 0,5 ist und der zweite = 1... das sagt mir doch dann nur das es auch etwa 1,5 also kleiner 2 sein kann...
|
|
|
| |
|
Hallo piatty,
> Es tut mir leid, aber mir ist das immer noch nciht klar.
> wenn ich [mm]a_{1}[/mm] bewiesen habe, kann ich immernohc nciht
> [mm]a_{n+1} \le a_{n}[/mm] beweisen, da mir doch der wert [mm]a_{n}[/mm]
> fehtl.
Also, Du hast Die Gleichung sagen wir für [mm]n=1[/mm] bewiesen; dann kannst Du sie (zusammen mit der Vorschrift, die die Folge definiert) für [mm]n=2[/mm] beweisen; dann, ausgehend von [mm]n=2[/mm] und wieder mit Hilfe der Rekursionsvorschrift für [mm]n=3[/mm] usw.
So würdest Du aber niemals an ein Ende kommen; darum beweist Du im Induktionsschritt (siehe den Beitrag von Schachuzibus): Unter der Voraussetzung (= Induktionsannahme), daß die Ungleichung für **irgendeine** natürliche Zahl [mm]n[/mm] richtig ist, ist sie auch für [mm]n+1[/mm] richtig.
Vielleicht hilft Dir ja diese Erklärung der vollständigen Induktion weiter.
Gruß
zahlenspieler
|
|
|
| |
|
> und kann es sein das ii) nicht stimmt????
> die induktionsannahme stimmt wenn ich dann aber
> [mm]\bruch{a_{n}}{4}+1+\bruch{1}{a^{2}_{n}}[/mm] aber ich weiß ja
> nur das der erste term größer 0,5 ist und der zweite = 1...
Hallo,
ich kann diesem sprachlichen Konstrukt nicht folgen.
Recht hättest Du damit, daß der Induktionsanfang (!!!) stimmt.
Danach stellt man die Induktionsannahme auf. Wie lautet sie denn?
Hier gibt es kein "stimmt" oder "stimmt nicht". Man nimmt an, daß sie stimmt. (Eine Annahme eben...)
> das sagt mir doch dann nur das es auch etwa 1,5 also
> kleiner 2 sein kann...
???
Im Induktionsschluß ist zu zeigen, daß unter der Voraussetzung, daß die Annahme richtig ist, auch [mm] a_{n+1}^2\ge [/mm] 2 ist.
Was ist [mm] a_{n+1}^2 [/mm] ? [mm] a_{n+1}^2= [/mm] ...
Verwende dann, daß nach Annahme [mm] a_n^2\ge [/mm] 2.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
