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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle $ n [mm] \ge [/mm] 1 [mm] (1+q)^n \le 1+2^n*q [/mm] $ mit $ 0<q<0.5 $ |
Hi,
also für n=1 gilt die obige Aussage. Also nehme ich an sie gilt für n=k
ergo:
$ [mm] (1+q)^k \le 1+2^k*q [/mm] $ mit $ 0<q<0.5 $
Zu zeigen: Wahr für n=k+1
Meine Idee war nun auf beiden Seiten mit (1+q) zu multiplizieren. dann bekomme ich:
$ [mm] (1+q)^{k+1} \le (1+2^k*q)*(1+q) [/mm] $
$ [mm] (1+q)^{k+1} \le (1+q+2^k*q+2^k*q^2) [/mm] $
Jetzt muss ich irgendwie zeigen, dass die rechte Seite kleiner oder gleich [mm] 1+2^{k+1}*q [/mm] .
Dann wäre ich fertig.
Nur wie?
Lg,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Sa 02.01.2010 | | Autor: | valoo |
Ich würds so machen:
Erst mal die 1 da weg und q kürzen
[mm] (1+2^{k}+2^{k}*q)\le 2^{k+1}
[/mm]
<=> [mm] 1+2^{k}*q\le 2^{k}
[/mm]
[mm] 1+2^{k}*q\le 1+0.5*2^{k} \le 2^{k}
[/mm]
<=> [mm] 1\le 0.5*2^{k}
[/mm]
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Hallo,
danke für deine anwort.
> Ich würds so machen:
> Erst mal die 1 da weg und q kürzen
> [mm](1+2^{k}+2^{k}*q)\le 2^{k+1}[/mm]
> <=> [mm]1+2^{k}*q\le 2^{k}[/mm]
Okay, bis hierhin kann ich dir folgen.
> [mm]1+2^{k}*q\le 1+0.5*2^{k} \le 2^{k}[/mm]
> <=> [mm]1\le 0.5*2^{k}[/mm]
So hier wird es knifflig. Zu einen verstehe ich nicht, wie du auf diese letzte Zeile kommst und zum zweiten kann ich noch nicht ganz nachvollziehen, inwiefern mir das zeigt, dass $ [mm] 1+q+2^k*q+2^k*q^2 \le 1+2^{k+1}*q [/mm] $ ?!
lg und vielen dank nochmal,
exe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 02.01.2010 | | Autor: | valoo |
q ist in (0, 0.5). Also einfach mal 0.5 einsetzen. Dann noch [mm] 0.5*2^{k} [/mm] subtrahieren und fertig. Dann ist
[mm] 1\le 0.5*2^{k} [/mm] offensichtlich erfüllt, da das ja monoton wachsend ist und damit immer größer gleich 1.
Oder am besten mal Schritt für Schritt:
[mm] (1+q+2^{k}*q+2^{k}*q^{2})\le 1+2^{k+1}*q [/mm]
<=> [mm] q+2^{k}+2^{k}*q^{2}=q(1+2^{k}+2^{k}*q)\le 2^{k+1}*q
[/mm]
<=> [mm] 1+2^{k}+2^{k}*q\le 2^{k+1}=2*(2^{k})=2^{k}+2^{k}
[/mm]
<=> [mm] 1+2^{k}*q\le 2^{k}
[/mm]
[mm] sup(q)=\bruch{1}{2}: [/mm] <= [mm] 1+\bruch{1}{2}*2^{k}\le 2^{k}
[/mm]
<=> [mm] 1\le \bruch{1}{2}*2^{k}
[/mm]
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