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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweis durch Induktion
Beweis durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis durch Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 31.10.2011
Autor: mathemaus2010

Aufgabe
Aufgabe 3
Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] k , k [mm] \in [/mm] N beliebig.

Dabei ist [mm] \vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] mit 0! = 1.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo =) ,

ich habe Probleme mit der Aufgabe. Wenn ich den Induktionanfang mit n=1, da die 0 bei uns nicht zu den natürlichen Zahlen gehört, durchführe, kommt 1=1 raus und das stimmt, aber dann komme ich ja zu dem Induktionsschritt:

[mm] \vektor{n+2 \\ k+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k} [/mm]

Jetzt versuche ich ja zu zeigen durch verschiedene Umformungen, dass die linke und die rechte Seite der Gleichung identisch sind. Hier komme ich nicht weiter. Man kann ja sagen:

[mm] \summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k} [/mm] =( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + [mm] \vektor{n+1 \\ n+1} [/mm] =  ( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + 1

stimmt das so weit?

auf Grund der Induktionsvoraussetzung könnte ich dann sagen:

( [mm] \summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k} [/mm] ) + 1 = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] +1

Jetzt muss ich zeigen:

[mm] \vektor{n+2 \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] +1

Hier ist jetzt mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich das am besten umformen kann, damit die Gleichheit gezeigt ist. Ich habe versucht   [mm] \vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] anzuwenden:

[mm] \bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (n+1)}{k! (k+1) (n-k)!} [/mm] + 1

Jetzt habe ich versucht die beiden Brüche auf der rechten Seite gleichnamig zu machen und unter einen Bruchstrich zu schreiben:

[mm] \bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n! (n+1) + k! (k+1) (n-k)!}{k! (k+1) (n-k)!} [/mm]

Weiter komme ich nicht, ich hoffe mir kann jemand helfen =)

lg =)


        
Bezug
Beweis durch Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Mo 31.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo mathemaus2010,


> Aufgabe 3
>  Zeigen Sie durch vollständige Induktion: [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
> = [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] k , k [mm]\in[/mm]
> N beliebig.
>  
> Dabei ist [mm]\vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm] mit 0! =
> 1.
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo =) ,
>
> ich habe Probleme mit der Aufgabe. Wenn ich den
> Induktionanfang mit n=1, da die 0 bei uns nicht zu den
> natürlichen Zahlen gehört, durchführe, kommt 1=1 raus
> und das stimmt, aber dann komme ich ja zu dem
> Induktionsschritt:
>  
> [mm]\vektor{n+2 \\ k+1}[/mm] = [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k}[/mm] [ok]
>  
> Jetzt versuche ich ja zu zeigen durch verschiedene
> Umformungen, dass die linke und die rechte Seite der
> Gleichung identisch sind. Hier komme ich nicht weiter. Man
> kann ja sagen:
>  
> [mm]\summe_{m=k}^{n+1}\vektor{m \\ k}[/mm] =(  [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k}[/mm] ) + [mm]\vektor{n+1 \\ n+1}[/mm] [notok]

Nein, das k ist doch fest, da muss also stehen [mm]...=\left[ \ \sum\limits_{m=k}^n\vektor{m\\ k} \ \right] \ + \ \vektor{n+1\\ k}[/mm]

Nun kannst du auf die erste Summe die IV loslassen, das ist also

[mm]=\vektor{n+1\\ k+1} \ + \ \vektor{n+1\\ k}[/mm]

Und das ist doch [mm]=\vektor{n+2\\ k+1}[/mm]

Gemäß der Formel: [mm]\vektor{n\\ k}=\vektor{n-1\\ k-1}+\vektor{n-1\\ k}[/mm]

Fertig!

> =  ( [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k}[/mm] ) + 1
>  
> stimmt das so weit?

Leider nicht!

>
> auf Grund der Induktionsvoraussetzung könnte ich dann
> sagen:
>  
> ( [mm]\summe_{m=k}^{n}\vektor{m \\ k}[/mm] ) + 1 = [mm]\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm]
> +1
>
> Jetzt muss ich zeigen:
>  
> [mm]\vektor{n+2 \\ k+1}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/mm] +1
>
> Hier ist jetzt mein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich
> das am besten umformen kann, damit die Gleichheit gezeigt
> ist. Ich habe versucht   [mm]\vektor{n \\ k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
> anzuwenden:
>  
> [mm]\bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{n! (n+1)}{k! (k+1) (n-k)!}[/mm]
> + 1
>
> Jetzt habe ich versucht die beiden Brüche auf der rechten
> Seite gleichnamig zu machen und unter einen Bruchstrich zu
> schreiben:
>  
> [mm]\bruch{n! (n+1) (n+2)}{k! (k+1) (n-k+1)!}[/mm] = [mm]\bruch{n! (n+1) + k! (k+1) (n-k)!}{k! (k+1) (n-k)!}[/mm]
>  
> Weiter komme ich nicht, ich hoffe mir kann jemand helfen
> =)
>  
> lg =)
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Beweis durch Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Mo 31.10.2011
Autor: mathemaus2010

ja stimmt, das habe ich nicht beachtet . dankeschön =)

Bezug
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