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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Es seien n, m natürliche Zahlen und x, y Elemente eines Körpers. Man zeige:
a) [mm] \\n*x+m*x=(n+m)*x
[/mm]
b) [mm] \\n*(m*x)=(n*m)*x
[/mm]
c) [mm] \\n*x+n*y=n*(x+y)
[/mm]
d) [mm] x^n*x^m=x^{n+m}
[/mm]
e) [mm] (x^m)^n=x^{n*m}
[/mm]
f) [mm] x^n*y^n=(x*y)^n [/mm] |
An sich sind diese Aufgaben ja nicht schwer, aber alle Definitionen, die ich habe beziehen sich nur auf Körperelemente. Da es sich hierbei auch um natürliche Zahlen handelt, weiß ich nicht wie und ob ich mit denen operieren darf.
Vielen Dank für alle Hinweise
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> Es seien n, m natürliche Zahlen und x, y Elemente eines
> Körpers. Man zeige:
> a) [mm]\\
n*x+m*x=(n+m)*x[/mm]
> b) [mm]\\
n*(m*x)=(n*m)*x[/mm]
> c) [mm]\\
n*x+n*y=n*(x+y)[/mm]
> d) [mm]x^n*x^m=x^{n+m}[/mm]
> e) [mm](x^m)^n=x^{n*m}[/mm]
> f) [mm]x^n*y^n=(x*y)^n[/mm]
> An sich sind diese Aufgaben ja nicht schwer, aber alle
> Definitionen, die ich habe beziehen sich nur auf
> Körperelemente. Da es sich hierbei auch um natürliche
> Zahlen handelt, weiß ich nicht wie und ob ich mit denen
> operieren darf.
Hallo,
Ihr solltet irgendwo notiert haben, wie n*x und [mm] x^n [/mm] mit [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] x\in [/mm] K definiert ist.
Darauf mußt Du Du Dich dann berufen.
LG Angela
> Vielen Dank für alle Hinweise
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Es ist wohl etwas derartiges gemeint: [mm] nx=\underbrace{x+x+...+x}_{n-mal} [/mm] ?
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> Es ist wohl etwas derartiges gemeint:
> [mm]nx=\underbrace{x+x+...+x}_{n-mal}[/mm] ?
Hallo,
ja.
Du solltest aber wirklich mal nachgucken, wie Ihr das definiert habt, denn darauf mußt Du Dich ja beziehen.
"Normal" wäre eine induktive Definition:
für [mm] x\in [/mm] K und [mm] n\in \IN [/mm] ist
[mm] 0*x:=0_K
[/mm]
(n+1)*x:=n*x+x.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Es ist in der Tat definiert durch: [mm] \summe_{i=1}^{0}x=0 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}=(\summe_{i=1}^{n-1})+x [/mm] sowie [mm] \produkt_{i=1}^{0}x=1 [/mm] und [mm] \produkt_{i=1}^{n}x=(\produkt_{i=1}^{n-1})*x, [/mm] was ja äquivalent zu deiner rekursiven Definition ist. Das hatte ich einfach nicht bemerkt.
Ich habe also a) und b) wiefolgt gelöst:
[mm] n*x+m*x=\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{n+(1m)}+\summe_{i=1}^{m-(1m)}=(n+m)*x+0=(n+m)*x
[/mm]
und
[mm] n*(m*x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{n}\summe_{i=1}^{m}e*x=x\summe_{i=1}^{n}e*m=x(e*n*m)=(n*m)*x [/mm] , wobei e das neutrale Element der Multiplikation und nicht die Eulersche Zahl darstellt.
d) und e) müssten ja parrallel laufen.
Bei c) bin ich mir allerdings nicht darüber im klaren ob, und vielmehr warum, dass heißt durch Anwendung welcher Sätze bzw. Axiome, ich schreiben darf: [mm] \summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{n}y=\summe_{i=1}^{n}x+y [/mm] und analog bei f).
Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen.
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> Es ist in der Tat definiert durch: [mm]\summe_{i=1}^{0}x=0[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{n}=(\summe_{i=1}^{n-1})+x[/mm] sowie
> [mm]\produkt_{i=1}^{0}x=1[/mm] und
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}x=(\produkt_{i=1}^{n-1})*x,[/mm]
Hallo,
damit bist Du ja schonmal ein Stück weiter.
>
> Ich habe also a)
Laß uns zunächst a) anschauen.
> und b) wiefolgt gelöst:
>
> [mm]n*x+m*x=\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x\red{=}\summe_{i=1}^{n+(1m)}+\summe_{i=1}^{m-(1m)}=(n+m)*x+0=(n+m)*x[/mm]
Das markierte Gleichheitzeichen erschließt sich mir nicht.
Wie begründest Du das?
Ich meine, Du mußt hier eine Induktion machen.
Nimm m beliebig, aber fest, und mach eine Induktion nach n.
(Jeden Schritt begründen!)
LG Angela
> und
>
> [mm]n*(m*x)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{n}\summe_{i=1}^{m}e*x=x\summe_{i=1}^{n}e*m=x(e*n*m)=(n*m)*x[/mm]
> , wobei e das neutrale Element der Multiplikation und nicht
> die Eulersche Zahl darstellt.
>
> d) und e) müssten ja parrallel laufen.
>
> Bei c) bin ich mir allerdings nicht darüber im klaren ob,
> und vielmehr warum, dass heißt durch Anwendung welcher
> Sätze bzw. Axiome, ich schreiben darf:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{n}y=\summe_{i=1}^{n}x+y[/mm] und
> analog bei f).
>
> Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mo 06.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Du hast recht, da war ich wohl etwas voreilig. Ich zeige also mit vollständiger Induktion:
Die Behauptung lautet: [mm] \summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{n+m}x+\summe_{i=1}^{m-m}x [/mm] .
Die Aussage für n=1 lautet: [mm] \summe_{i=1}^{1}x+\summe_{i=1}^{m}x=x+\summe_{i=1}^{m}x+\summe_{i=1}^{m-m}=\summe_{i=1}^{1+m}x+\summe_{i=1}^{m-m} [/mm] und ist offensichtlich wahr.
Der Schluss von n auf n+1: [mm] \summe_{i=1}^{n+1}x+\summe_{i=1}^{m}x=x+\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x=x+\summe_{i=1}^{n+m}x+\summe_{i=1}^{m-m}x=\summe_{i=1}^{(n+1)+m}x+\summe_{i=1}^{m-m}x
[/mm]
Damit ist die Behauptung für alle [mm] n\le1 [/mm] bewiesen und Aufgabe a) (jetzt hoffentlich auch korrekt) gelöst. Allerdings wundert mich, dass in dem Buch, nach dem ich arbeite, die vollständige Induktion noch nicht eingeführt ist.
Die restlichen Aufgaben mahcnen mir aber immer noch zu schaffen.
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Hallo,
wenn es kein Schulbuch ist, welches Du verwendest, gehört die vollständige Induktion zum Handwerkszeug des Lesers, welches als selbstverständlich vorausgesetzt wird.
Ich schreibe jetzt erst nochmal die Def. hin und ziehe dabei ein paar Kleinigkeiten zurecht:
für [mm] x\in [/mm] K und [mm] n\in \IN [/mm] sei
[mm] \summe_{i=1}^0x:=0_K
[/mm]
für [mm] x\in [/mm] K und [mm] n\in \IN [/mm] sei
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}x:=(\summe_{i=1}^{n}x)+x,
[/mm]
und es sei [mm] n*x:=\summe_{i=1}^{n}x.
[/mm]
> Du hast recht, da war ich wohl etwas voreilig. Ich zeige
> also mit vollständiger Induktion:
> Die Behauptung lautet:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{n+m}x+\summe_{i=1}^{m-m}x[/mm]
Wir sollten hier die Behauptung erst nochmal völlig unverschnörkelt und uninterpretiert hinschreiben:
Behauptung:
für alle [mm] x\in [/mm] K und alle [mm] n,m\in \IN [/mm] gilt
n*x+m*x=(n+m)*x.
Beweis durch Induktion über n:
Sei [mm] x\in [/mm] K und [mm] m\in \IN.
[/mm]
Induktionsanfang:
> n=1
Es ist
1*x+m*x=
> [mm] \summe_{i=1}^{1}x+\summe_{i=1}^{m}x=x+\summe_{i=1}^{m}x= (\summe_{i=1}^{m}x)+x \qquad [/mm] (das darf man, weil die Addition im Körper kommutativ ist)
= [schau jetzt oben bei der Def.] [mm] \summe_{i=1}^{...}...= [/mm] ...
> und ist offensichtlich wahr.
Induktionsvoraussetzung:
Für ein [mm] n\in \IN [/mm] gelte
n*x+m*x=(n+m)*x
Induktionsschluß
> Der Schluss von n auf n+1:
Hier ist nun zu zeigen, daß unter der Induktionsvoraussetzung gilt, daß
(n+1)*x+m*x=((n+1)+m)*x richtig ist.
Es ist
(n+1)*x+m*x=
> [mm] \summe_{i=1}^{n+1}x+\summe_{i=1}^{m}x
[/mm]
= [mm] ((\summe_{i=1}^{n}x)+x)+\summe_{i=1}^{m}x
[/mm]
> [mm] =x+\summe_{i=1}^{n}x+\summe_{i=1}^{m}x
[/mm]
> [mm] =x+\summe_{i=1}^{n+m}x \qquad [/mm] (nach Induktionsvoraussetzung!)
[mm] =(\summe_{i=1}^{n+m}x)+x
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{(n+m)+1}x
[/mm]
> [mm] =\summe_{i=1}^{(n+1)+m}x
[/mm]
> Damit ist die Behauptung für alle
[mm] n\in \IN [/mm]
> bewiesen.
Ja. Ich habe, wie Du siehst, ein paar Sachen genauer ausgeführt und ein paar Terme bei Dir weggestrichen.
Dann versuchen wir jetzt b).
Behauptung:
für alle [mm] x\in [/mm] k und für alle [mm] n,m\in \IN [/mm] gilt
m*(n*x)=(mn)*x.
Induktion über n: sei [mm] x\in [/mm] K und [mm] m\in \IN
[/mm]
Induktionsanfang: (n=1)
Es ist m*(1*x)=...=...=...=...=(m*1)*x
Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] gelte
m*(n*x)=(mn)*x
Induktionsschluß:
Hier ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung zu zeigen, daß dann auch m*((n+1)*x)=(m(n+1))*x richtig ist.
Es ist
m*((n+1)*x)=
[mm] \vdots
[/mm]
=(m(n+1))*x
Versuch das mal.
Beachte, daß Du nur Definitionen und bereits Gezeigtes sowie die Induktionsvoraussetzung verwenden darfst.
Mach es ganz kleinschrittig, nie zwei Sachen auf einmal.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 07.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
Meine Ansätze sind:
Behauptung: $n(mx)=(nm)x$ für [mm] $n,m\in\IN$, x\in\IK
[/mm]
Induktionsanfang: Sei $n=1$, dann folgt: [mm] $1(mx)=\summe_{i=1}^{1}mx=mx=\summe_{i=1}^{m}x=\summe_{i=1}^{m}ex=x*\summe_{i=1}^{m}e=x*(em)=x(m)=...=x(1m)$ [/mm] Ist das bis zu den Punkten richtig? Wenn ja, wie komme ich zum letzten Schritt?
Induktionsvorraussetzung: Es gelte $n(mx)=(nm)x$ für ein [mm] $n\in [/mm] m$
Induktionsschluss: Dann folgt für $n+1$: [mm] $(n+1)(mx)=\summe_{i=1}^{n+1}(mx)=\summe_{i=1}^{n}(mx)+mx=n(mx)+mx=(nm)x+mx=(nm+m)x$ [/mm] Auch hier bin ich mir nicht sicher, wie ich $(nm+m)$ zu $((n+1)m)$ zusammenfassen kann. Es wäre toll, wenn du mir hierbei und bei c) noch helfen könntest, ich denke d) - f) bekomme ich dann alleine raus.
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Hallo,
> Behauptung: [mm]n(mx)=(nm)x[/mm] für [mm]n,m\in\IN[/mm], [mm]x\in\IK[/mm]
> Induktionsanfang: Sei [mm]n=1[/mm], dann folgt:
> [mm] 1(mx)=\summe_{i=1}^{1}mx=mx=\summe_{i=1}^{m}x=
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{1m}x=(1m)*x.
[/mm]
> Induktionsvorraussetzung: Es gelte [mm]n(mx)=(nm)x[/mm] für ein
> [mm]n\in m[/mm]
> Induktionsschluss: Dann folgt für [mm]n+1[/mm]:
> [mm](n+1)(mx)=\summe_{i=1}^{n+1}(mx)=\summe_{i=1}^{n}(mx)+mx=n(mx)+mx=(nm)x+mx=(nm+m)x[/mm]
=((n+1)m)*x
In der Klammer findet ganz normales Rechnen mit natürlichen Zahlen statt.
Gut gemacht, finde ich!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 07.08.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> In der Klammer findet ganz normales Rechnen mit
> natürlichen Zahlen statt.
Ok, das war mir nicht bewusst, denn alles was ich über natürliche Zahlen weiß sind ja die Definitionen über Multiplikation und Potenzierung mit Körperelementen.
Für c) habe ich Folgendes:
Behauptung: $nx+ny=n(x+y)$ für [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $x,y\in\IK$
[/mm]
Induktionsanfang: Für $n=1$ folgt: [mm] $1x+1y=\summe_{i=1}^{1}x+\summe_{i=1}^{1}y=x+y=\summe_{i=1}^{1}(x+y)=1(x+y)$
[/mm]
Induktionsvorraussetzung: Gelte nun: $nx+ny=n(x+y)$ für ein [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Induktionsschluss: Dann folgt für $n+1$: [mm] $(n+1)x+(n+1)y=\summe_{i=1}^{n+1}x+\summe_{i=1}^{n+1}y=x+\summe_{i=1}^{n}x+y+\summe_{i=1}^{n}y=(x+y)+nx+ny=(x+y)+n(x+y)=(x+y)+\summe_{i=1}^{n}(x+y)=\summe_{i=1}^{n+1}(x+y)=(n+1)(x+y)$
[/mm]
Damit folgt aus $A(n)$ stets $A(n+1)$ und die Behauptung gilt für alle [mm] $n\le1.$
[/mm]
Stimmt das so? Wenn ja, schaffe ich die Aufgaben mit den Potenzen, denke ich, alleine. Vielen Dank bis hierhin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 07.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Aufgabe c) würde ich gar nicht über die Induktion machen:
Es gilt:
[mm]n\cdot(x+y)=(x+y)+(x+y)+\ldots+(x+y)=x+x+\ldots+x+y+y\ldots+y=n\cdot x+n\cdot y[/mm]
Marius
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> Hallo
>
> Diese Aufgabe c) würde ich gar nicht über die Induktion
> machen:
>
> Es gilt:
>
> [mm]n\cdot(x+y)=(x+y)+(x+y)+\ldots+(x+y)\red{=}x+x+\ldots+x+y+y\ldots+y=n\cdot x+n\cdot y[/mm]
Hallo,
mit Pünktchen ist immer etwas unsauber, und man soll hier ja gerade lernen, genau nach Definition zu arbeiten.
Dein rotes Gleichheitszeichen kommt zwar unscheinbar und harmlos daher, aber um von der einen Seite zur anderen zu kommen, muß man sich doch etwas anstrengen, denn die Körpergesetze erlauben zunächst lediglich das Vertauschen zweier Elemente und das Versetzen eines Klammerpaars.
Um eine Induktion in irgendeiner Form wird man nicht herumkommen, wenn man's richtig machen will - es sei denn, man schnudelt.
LG Angela
>
> Marius
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> Für c) habe ich Folgendes:
> Behauptung: [mm]nx+ny=n(x+y)[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]x,y\in\IK[/mm]
> Induktionsanfang: Für [mm]n=1[/mm] folgt:
> [mm]1x+1y=\summe_{i=1}^{1}x+\summe_{i=1}^{1}y=x+y=\summe_{i=1}^{1}(x+y)=1(x+y)[/mm]
> Induktionsvorraussetzung: Gelte nun: [mm]nx+ny=n(x+y)[/mm] für ein
> [mm]n\in\IN[/mm].
> Induktionsschluss: Dann folgt für [mm]n+1[/mm]:
> [mm](n+1)x+(n+1)y=\summe_{i=1}^{n+1}x+\summe_{i=1}^{n+1}y=x+\summe_{i=1}^{n}x+y+\summe_{i=1}^{n}y=(x+y)+nx+ny=(x+y)+n(x+y)=(x+y)+\summe_{i=1}^{n}(x+y)=\summe_{i=1}^{n+1}(x+y)=(n+1)(x+y)[/mm]
> Damit folgt aus [mm]A(n)[/mm] stets [mm]A(n+1)[/mm] und die Behauptung gilt
> für alle [mm]n\ge1.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Hallo,
ja, es ist richtig gut gelungen.
Von Deinem Aufschrieb könnte sich manch ein Student eine Scheibe abschneiden.
LG Angela
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