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Beweis durch Kontraposition: Wurzel aus irrationaler Zahl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Di 28.04.2015
Autor: Ceriana

Aufgabe
Beweisen Sie durch Kontraposition folgende Aussage:

Ist r [mm] \in \IR [/mm] derart, dass [mm] \wurzel{r} [/mm] eine irrationale Zahl ist, so ist auch r eine irrationale Zahl.


Hallo,

wir sollen die o.g. Aussage durch Kontraposition beweisen. Bei diesem Beweisschema ging ich wie folgt vor:

Aussage A: [mm] \wurzel{r} \in [/mm] (irrationale Zahlen)
Aussage B: r [mm] \in [/mm] (irrationale Zahlen)

Bei Kontraposition werden die Aussagen ja rumgedreht, also:

[mm] \neg [/mm] A: [mm] \wurzel{r} \not\in [/mm] (irrationale Zahlen)
[mm] \neg [/mm] B: r [mm] \not\in [/mm] (irrationale Zahlen)

und es gilt

[mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A.

Das heißt also, dass aus r [mm] \not\in [/mm] (irrationale Zahlen) folgt, dass [mm] \wurzel{r} [/mm] auch [mm] \not\in [/mm] (irrationale Zahlen) ist.

Aber wie geht der Beweis weiter? Ich habe leider keinen Ansatz.

Liebe Grüße,

Ceriana

P.S.: Gibt es kein Symbol für die Zahlmenge der irrationalen Zahlen? Wie stellt man das am besten dar?

        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Di 28.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Beweisen Sie durch Kontraposition folgende Aussage:
>  
> Ist r [mm]\in \IR[/mm] derart, dass [mm]\wurzel{r}[/mm] eine irrationale Zahl
> ist, so ist auch r eine irrationale Zahl.
>  
> Hallo,
>  
> wir sollen die o.g. Aussage durch Kontraposition beweisen.

sicher? [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist nämlich irrational, während $2$ das nicht ist. [mm] $\sqrt{3/2}$ [/mm] ist auch
irrational, aber $3/2$ ist rational.

Stimmt die Aufgabenstellung??

> Bei diesem Beweisschema ging ich wie folgt vor:
>  
> Aussage A: [mm]\wurzel{r} \in[/mm] (irrationale Zahlen)
>  Aussage B: r [mm]\in[/mm] (irrationale Zahlen)
>  
> Bei Kontraposition werden die Aussagen ja rumgedreht,

Du meinst: negiert!

> also:
>  
> [mm]\neg[/mm] A: [mm]\wurzel{r} \not\in[/mm] (irrationale Zahlen)
>  [mm]\neg[/mm] B: r [mm]\not\in[/mm] (irrationale Zahlen)
>  
> und es gilt
>  
> [mm]\neg[/mm] B [mm]\Rightarrow \neg[/mm] A.

Genau! [mm] ($A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] vertauschen nach dem Negieren ihre Position,
sozusagen.)

> Das heißt also, dass aus r [mm]\not\in[/mm] (irrationale Zahlen)
> folgt, dass [mm]\wurzel{r}[/mm] auch [mm]\not\in[/mm] (irrationale Zahlen)
> ist.
>  
> Aber wie geht der Beweis weiter? Ich habe leider keinen
> Ansatz.
>  
> Liebe Grüße,
>  
> Ceriana
>  
> P.S.: Gibt es kein Symbol für die Zahlmenge der
> irrationalen Zahlen? Wie stellt man das am besten dar?

Na, die rationalen Zahlen sind

    [mm] $\IQ$, [/mm]

die irrationalen Zahlen [mm] $\IR \setminus \IQ\,.$ [/mm] Ob Du dafür ein Kürzel einführen
willst (manch' einer setzt wohl [mm] $\mathbb{I}:=\IR \setminus \IQ$): [/mm] Ich brauche keins!

Jetzt also zu der Aufgabe: Wenn die Aufgabe funktionieren würde, dann gingen
wir von [mm] $\neg [/mm] B$ aus, d.h. es ist $r [mm] \notin (\IR \setminus \IQ)\,,$ [/mm]
wobei wir beachten, dass ja $r [mm] \in \IR$ [/mm] war. Folglich muss $r [mm] \in \IQ$ [/mm] gelten.
(Tatsächlich muss sogar $r [mm] \in \IQ \cap [0,\infty)$ [/mm] gelten, weil man sonst [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] gar
nicht hinschreiben kann!)

Und jetzt kommen wir aber nicht weiter, weil aus $r [mm] \in \IQ$ [/mm] keinesfalls [mm] $\sqrt{r} \in \IQ$ [/mm]
folgt: Setze dazu etwa [mm] $r:=2\,$! [/mm]

Also: Die Aufgabenstellung ist unsinning. Was man aber leicht zeigen kann:
Ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] rational, so ist auch das reelle $r [mm] \ge [/mm] 0$ rational. Das würde ich aber
ohne Kontraposition machen wollen!
(Es folgt direkt, wenn man $0 [mm] \le r=(\sqrt{r})^2$ [/mm] schreibt, weil [mm] $(\IQ,+_{\IQ},\cdot_{\IQ})$ [/mm] ein Körper
ist!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:54 Di 28.04.2015
Autor: Ceriana

Hallo Marcel,

ich habe gerade gesehen dass das Aufgabenblatt korrigiert wurde. Der Satz wurde umgestellt, die Aufgabe lautet nun so:

> Beweisen Sie durch Kontraposition die folgende Aussage:
> Ist r [mm] \in \IR [/mm] derart, dass r eine irrationale Zahl ist, so ist auch [mm] \wurzel{r} [/mm] eine irrationale Zahl.

Dann dreht sich das alles um, oder?

Aussage A: r [mm] \in (\IR \setminus \IQ) [/mm]
Aussage B: [mm] \wurzel{r} \in (\IR \setminus \IQ) [/mm]

Negiert ergibt sich dann:

[mm] \neg [/mm] A: r [mm] \in \IR [/mm]
[mm] \neg [/mm] B: [mm] \wurzel{r} \in \IR [/mm]

Also [mm] \wurzel{r} \in \IR \Rightarrow [/mm] r [mm] \in \IR. [/mm] Aber dann hänge ich immernoch fest.

Ich könnte die Wurzel quadrieren, dann bekäme ich ja definitiv eine rationale Zahl. Aber wie beweise ich das?

Deinem direkten Beweis mit Körpern kann ich zwar folgen, aber wie gesagt, wir müssen das mit Kontraposition machen.

Wird die Aufgabe durch die Korrektur nun einleuchtender? ;)

Bezug
                        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 28.04.2015
Autor: abakus


>

> Ich könnte die Wurzel quadrieren, dann bekäme ich ja
> definitiv eine rationale Zahl. Aber wie beweise ich das?

Hallo,
wenn [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] eine rationale Zahl ist, dann hat es die Form p/q mit ganzen Zahlen p und q (wobei q nicht Null sein darf).
Dann hat r die Form p²/q²...
Wenn du jetzt irgendwie begründen könntest, dass das beides ganze Zahlen sind...
;-)

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Bezug
Beweis durch Kontraposition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Di 28.04.2015
Autor: Marcel

Hallo Ceriana,

> Hallo Marcel,
>  
> ich habe gerade gesehen dass das Aufgabenblatt korrigiert
> wurde. Der Satz wurde umgestellt, die Aufgabe lautet nun
> so:
>  
> > Beweisen Sie durch Kontraposition die folgende Aussage:
>  > Ist r [mm]\in \IR[/mm] derart, dass r eine irrationale Zahl ist,

> so ist auch [mm]\wurzel{r}[/mm] eine irrationale Zahl.

ich würde bei der Aufgabe einfach mal voranstellen, dass $r [mm] \in \IR$ [/mm] insbesondere
$r [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllen soll - das Problem ist, dass diese Voraussetzung bei $r [mm] \in \IR \setminus \IQ$ [/mm]
*nicht sichtbar* wird, was unnötig verwirren könnte.

Ansonsten hast Du auch schon beim Negieren Fehler gemacht - aber warten
wir erstmal, was Abakus sagt!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 28.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> ich habe gerade gesehen dass das Aufgabenblatt korrigiert
> wurde. Der Satz wurde umgestellt, die Aufgabe lautet nun
> so:
>  
> > Beweisen Sie durch Kontraposition die folgende Aussage:
>  > Ist r [mm]\in \IR[/mm] derart, dass r eine irrationale Zahl ist,

> so ist auch [mm]\wurzel{r}[/mm] eine irrationale Zahl.
>  
> Dann dreht sich das alles um, oder?
>  
> Aussage A: r [mm]\in (\IR \setminus \IQ)[/mm]
>  Aussage B: [mm]\wurzel{r} \in (\IR \setminus \IQ)[/mm]
>  
> Negiert ergibt sich dann:
>  
> [mm]\neg[/mm] A: r [mm]\in \IR[/mm]
>  [mm]\neg[/mm] B: [mm]\wurzel{r} \in \IR[/mm]

nein: Für $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\neg(r \in \IR\setminus \IQ)$ [/mm] gilt doch nicht einfach nur $r [mm] \in \IR$: [/mm]

    $r [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $\neg(r \in \IR\setminus \IQ)$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $r [mm] \notin (\IR\setminus \IQ)$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $r [mm] \in \IR \cap (\IR \setminus \IQ)^C$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $r [mm] \in \IR \cap (\IR \cap \IQ^C)^C$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $r [mm] \in \IR \cap (\IR^C \cup (\IQ^C)^C)$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $r [mm] \in (\IR \cap \IR^C) \cup (\IR \cap \IQ)=\varnothing \cup \IQ=\IQ\,.$ [/mm]

Jetzt mal *übertrieben gerechnet*. Komplementbildungen sind immer bzgl.
[mm] $\IR$ [/mm] gemeint...
Beachte auch [mm] $(\IQ^C)^C=\IQ\,.$ [/mm]

> Also [mm]\wurzel{r} \in \IR \Rightarrow[/mm] r [mm]\in \IR.[/mm] Aber dann
> hänge ich immernoch fest.
>  
> Ich könnte die Wurzel quadrieren, dann bekäme ich ja
> definitiv eine rationale Zahl. Aber wie beweise ich das?
>  
> Deinem direkten Beweis mit Körpern kann ich zwar folgen,
> aber wie gesagt, wir müssen das mit Kontraposition
> machen.
>  
> Wird die Aufgabe durch die Korrektur nun einleuchtender? ;)

Also:

    [mm] $\neg [/mm] A:$ $r [mm] \in \IQ$ [/mm]

    [mm] $\neg [/mm] B:$ [mm] $\sqrt{r} \in \IQ$ [/mm]

Jetzt schreibe mal hin, was Du zu zeigen hast. Den Rest findest Du bei
Abakus, oder Du benutzt das, was ich schonmal sagte:

    $0 [mm] \le r=(\sqrt{r})^2=\sqrt{r}*\sqrt{r}$ [/mm]

liefert sofort die Richtigkeit der Folgerung

    [mm] $\sqrt{r} \in \IQ$ $\Longrightarrow$ [/mm] $r [mm] \in \IQ\,,$ [/mm]

weil [mm] $(\IQ,+_{\IQ},\cdot_{\IQ})$ [/mm] Körper ist. (Ich hoffe, ihr habt das schon bewiesen;
ansonsten halte Dich nur an das, was Abakus vorgeschlagen hat!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
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Beweis durch Kontraposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:45 Di 28.04.2015
Autor: Ceriana

Nein, das haben wir noch nicht bewiesen, in die Körper sind wir gerade erst eingestiegen mit simplen Beispielen wie [mm] (\IN, [/mm] +).

Ich habe den Post von abakus (danke dafür!) so verstanden:

Zu zeigen: [mm] \wurzel{r} \in \IQ \Rightarrow [/mm] r [mm] \in \IQ. [/mm]

Sei [mm] \wurzel{r} [/mm] dargestellt durch [mm] \bruch{p}{q}, [/mm] p [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \in \IZ \setminus \{ 0\}. [/mm]

Dann gilt für [mm] (\bruch{p}{q})^2: [/mm]

[mm] (\bruch{p}{q})^2 [/mm] = [mm] \bruch{p^2}{q^2} [/mm]

Da durch das quadrieren sowohl p als auch q definitiv in [mm] \IN \subset \IZ [/mm] enthalten ist, ist [mm] \bruch{p}{q} [/mm] = r [mm] \in \IQ. [/mm]

Habe ich da noch einen Denkfehler drin? Ich habe irgendwie ein Problem zu erkennen ob der Beweis zuende ist oder ob ich noch weitermachen müsste..

Das habe ich mir jetzt aus den Informationen von euch zusammengebaut, ich hoffe es ist korrekt :)

Bezug
                                        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:51 Mi 29.04.2015
Autor: fred97


> Nein, das haben wir noch nicht bewiesen, in die Körper
> sind wir gerade erst eingestiegen mit simplen Beispielen
> wie [mm](\IN,[/mm] +).
>  
> Ich habe den Post von abakus (danke dafür!) so
> verstanden:
>  
> Zu zeigen: [mm]\wurzel{r} \in \IQ \Rightarrow[/mm] r [mm]\in \IQ.[/mm]
>  
> Sei [mm]\wurzel{r}[/mm] dargestellt durch [mm]\bruch{p}{q},[/mm] p [mm]\in \IZ,[/mm] q
> [mm]\in \IZ \setminus \{ 0\}.[/mm]
>  
> Dann gilt für [mm](\bruch{p}{q})^2:[/mm]
>  
> [mm](\bruch{p}{q})^2[/mm] = [mm]\bruch{p^2}{q^2}[/mm]
>  
> Da durch das quadrieren sowohl p als auch q definitiv in
> [mm]\IN \subset \IZ[/mm] enthalten ist, ist [mm]\bruch{p}{q}[/mm] = r [mm]\in \IQ.[/mm]


Du meinst sicher

      [mm] $\bruch{p^2}{q^2}=r \in \IQ$ [/mm]

>  
> Habe ich da noch einen Denkfehler drin?


Nein.


>  Ich habe irgendwie
> ein Problem zu erkennen ob der Beweis zuende ist oder ob
> ich noch weitermachen müsste..


Du bist am Ziel. Du hast doch selbs geschrieben:


   "Zu zeigen: $ [mm] \wurzel{r} \in \IQ \Rightarrow [/mm] r [mm] \in \IQ. [/mm] $"


Und  r [mm] \in \IQ [/mm] hast Du gezeigt.

>
> Das habe ich mir jetzt aus den Informationen von euch
> zusammengebaut,



> ich hoffe es ist korrekt :)

Ist es.

FRED


Bezug
                                        
Bezug
Beweis durch Kontraposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 Mi 29.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Nein, das haben wir noch nicht bewiesen, in die Körper
> sind wir gerade erst eingestiegen mit simplen Beispielen
> wie [mm](\IN,[/mm] +).

na, das hoffe ich aber nicht. Das ist nämlich kein Körper - da gibt es ja noch
nicht mal die Multiplikation.

Aber sogar auch [mm] $(\IZ,\;+_{\IZ},\;{\cdot\,}_{\IZ})$ [/mm] wäre kein Körper...

Gruß,
  Marcel

Bezug
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