Beweis durch Winkeljagd < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, bin nun schon einige Zeit daran am herumstudieren.
Zur Konstruktion: (vielleicht sieht jemand sofort, woher es stammt, aber dies soll nicht der Diskussionsschwerpunkt sein)
[Dateianhang nicht öffentlich]
X,Y,Z gegeben
A liegt auf der Mitte von XY
B ist der Schnittpunkt von XZ mit der Winkelhalbierenden von XAZ
C ist der Schnittpunkt der sich ergibt durch die parallele Gerade zu XY durch B
Zu zeigen: CXY ist genau ein fuenftel des rechten Winkels. bzw. diese Konstruktion fuenftelt den rechten Winkel.
analytisch (durch verwenden von Winkelfunktionen) kann ich mir sehr schnell vergewissern, dass dies stimmt.
Aber irgendwie habe ich das Gefuehl es steckt noch mehr dahinter. Sieht jemand wie man das ganze mehr- oder weniger nur durch Winkeljagd loesen kann? - Oder koennte mir jemand eine Intuition geben?
Vielen Dank. Ich hoffe die Frage ist nicht zu verwirrend :)
mw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Do 20.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo, bin nun schon einige Zeit daran am herumstudieren.
>
> Zur Konstruktion: (vielleicht sieht jemand sofort, woher es
> stammt, aber dies soll nicht der Diskussionsschwerpunkt
> sein)
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> X,Y,Z gegeben
>
> A liegt auf der Mitte von XY
> B ist der Schnittpunkt von XZ mit der Winkelhalbierenden
> von XAZ
> C ist der Schnittpunkt der sich ergibt durch die parallele
> Gerade zu XY durch B
>
>
> Zu zeigen: CXY ist genau ein fuenftel des rechten Winkels.
> bzw. diese Konstruktion fuenftelt den rechten Winkel.
>
> analytisch (durch verwenden von Winkelfunktionen) kann ich
> mir sehr schnell vergewissern, dass dies stimmt.
> Aber irgendwie habe ich das Gefuehl es steckt noch mehr
> dahinter. Sieht jemand wie man das ganze mehr- oder weniger
> nur durch Winkeljagd loesen kann? - Oder koennte mir jemand
> eine Intuition geben?
Hallo,
wenn man den Kreisbogen an der Strecke XZ spiegelt, so ist der Winkel CC'Z halb so groß wie der Winkel CXZ (Zentriwinkel-Peripheriewinkel-Beziehung).
Aber ich glaube, das nutzt doch nichts. Die Winkelhalbierende AB teilt XZ im Verhältnis der anliegenden Seiten, also [mm] 1:\wurzel{5}...
[/mm]
Es handelt sich um die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks?
Wenn du Z an X spiegelst, ist BC die Höhe im rechtwinkligen Dreieck ZZ'C....
Ich hoffe, irgendwas davon hilft dir weiter.
Gruß
Abakus
>
> Vielen Dank. Ich hoffe die Frage ist nicht zu verwirrend
> :)
>
> mw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Do 20.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da ich denke, dass das ne Fünfeckkonstruktion ist, ist doch der Winkel CXZ=72° und deshalb der andere 18°
oder wolltest du grad zeigen, dass der andere 72°ist?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Fr 21.03.2008 | | Autor: | mathwizard |
genau, versuche mir die fünfeckkonstruktion so zu erklären, dass man den 90° "durch zauberei" fünfteilen kann.. danach ergibt sich der Rest von selber.
Diese zauberei ist mir noch unklar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 21.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) dass ein regelmäßiges Fünfeck die Innenwinkel 72° hat ist klar.
b) zeichne in das 5-Eck ein Pentagramm und erkenne dievielen gleichschenkligen Dreiecke, und ihre Verhältnisse. Damit kommst du auf den goldenen Schnitt.
c) Pythagoras sagt dann in deiner Konstruktion: (r=1) [mm] AZ=\wurzel{5}/2
[/mm]
d) Die Winkelhalbierende teilt XZ im Verhältnis der anliegenden Seiten, also [mm] $1/\wurzel{5}$ [/mm] d.h. [mm] $BX=1/(1+\wurzel{5})=(\wurzel{5}-1)/4.$
[/mm]
jetzt sieh in dem Pentagramm nach, dein gesuchter Winkel ist die Hälfte des Pentagrammwinkels also 18°.
Die Konstruktion kannten schon die Griechen, ohne Winkelfunktionen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:32 So 23.03.2008 | | Autor: | mathwizard |
Vielen Dank !
|
|
|
|
