Beweis durch voll. Induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Fr 05.09.2008 | | Autor: | MiMa90 |
| Aufgabe | Beweisen sie durch die vollständige Induktion, dass die folgende Summenformel für alle natürlichen Zahlen gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
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1. Induktionsanfang: Ja bei 1 kommt 1 raus...
2. Induktionsvoraussetzung: n=k
[mm] \summe_{i=1}^{k}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{k}{k+1}
[/mm]
3. Induktionsbehauptung: n=(k+1)
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{k+1}{k+1+1}=\bruch{k+1}{k+2}
[/mm]
4. Induktionsbeweis: n=k
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{(k+1)(k+1+1)}=\bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{k²+3k+2}
[/mm]
MfG Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael!
> 1. Induktionsanfang: Ja bei 1 kommt 1 raus...
Du meinst sicherlich, dass jeweils [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] herauskommt .
> 4. Induktionsbeweis: n=k
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{(k+1)(k+1+1)}=\bruch{1}{(k+1)(k+2)}[/mm]
Hier hast Du plötzlich den Bruch [mm] $\bruch{k}{k+1}$ [/mm] vergessen. Bringe also beide Brüche auf denselben Hauptnenner und fasse zusammen.
Dabei aber nicht den Nenner ausmultiplizieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 05.09.2008 | | Autor: | MiMa90 |
Ups.....
Also:
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{k}{k+1}+\bruch{1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{K²+2k+1}{(k+1)(k+2)}
[/mm]
ahh nun muss man nur noch den Bruch bei der Behauptung erweiter und schon sidn sie gleich! Danke....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 05.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nichts mehr erweitern, du brauchst im Zähler nur noch die 1 Binomische Formel und dann kannst du einmal kürzen, dann hast dus.
Also:
[mm] \bruch{k²+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\bruch{(k+1)²}{(k+1)(k+2)}=\bruch{k+1}{(k+2)}=\bruch{k+1}{(k+1)+1}
[/mm]
Marius
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