Beweis einer Abschätzung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 So 01.11.2009 | | Autor: | TiloW |
| Aufgabe | Beweise durch Induktion die Abschätzung
[mm] \produkt_{i=1}^{n}i^i \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}} [/mm] |
Ich komme einfach nicht weiter.. nachdem ich die Ungleichung entsprechend bearbeitet habe kommt links zwar wieder die Induktionsannahme heraus rechts vom kleinergleich steht aber etwas anderes:
Induktion über n
für n = 0
1 = [mm] 0^0 [/mm] OK
für n [mm] \hat= [/mm] n+1
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}i^i \le (n+1)^{\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{n}i^i (n+1)^{n+1} \le (n+1)^{\bruch{n^2+3n+2}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{n}i^i (n+1)^{n+1} \le (n+1)^{\bruch{n^2+n}{2} -(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=1}^{n}i^i \le (n+1)^{\bruch{n^2+n}{2}}
[/mm]
Vorraussetzung für den letzten Schritt ist, dass [mm] (n+1)^{n+1} \ge [/mm] 0,
ich vermute die Aufgabe bezieht sich nur auf die Natürlichen Zahlen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Musst du das wirklich mit Induktion machen?
wenn du [mm] n*(n+1)/2=\summe_{i=1}^{n}i [/mm] siehst ist es direkt ganz schnell. aber wahrscheinlich kann man die Tatsache auch in nem Induktionsbeweis verwenden. da die Abschätzung sehr grob ist.
übrigens kannst du nicht mit n=0 anfangen. n=0 kommt nicht vor, sonst waär das Produkt immer 0
2. dass es sich um natürliche Zahlen handelt solltest du nicht annehmen sondern sehen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 So 01.11.2009 | | Autor: | TiloW |
Danke schonmal fuer die Antwort, aber das hilft mir noch nicht richtig.
Denn bei n=0 handelt es sich um das leere Produkt, das ist doch gleich 1 oder? (Falls man für das Produkt bei i=0 beginnt ist der erste faktor [mm] 0^0 [/mm] was auch 1 ist.. oder sehe ich das falsch?)
Was meinst du damit, dass es sich um eine "grobe" Abschätzung handelt?
Mir ist klar, dass die Aussage wahr ist, nur kann ich das nicht regelgültig beweisen - und ja der Beweis muss induktiv sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:58 So 01.11.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
habt ihr denn den Ausdruck [mm] $0^0$ [/mm] definiert? (Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) Wenn es in der Aufgabenstellung nicht explizit erwähnt wird, würde ich bei $n=1$ anfangen...
"Grob" heißt, dass die rechte Seite viiieeel größer ist, als die Rechte. Setz doch mal $n=10$ ein: [mm] $10^{10}\le 10^{55}$...
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 So 01.11.2009 | | Autor: | TiloW |
Habt ihr die Aufgabe denn auch verstanden?
1. gilt nicht [mm] (n+1)^{n+1} \le n^{n+1}
[/mm]
2. für n=10 steht da
[mm] 1^1 [/mm] * [mm] 2^2 [/mm] * [mm] 3^3 [/mm] * [mm] 4^4 [/mm] * [mm] \cdots 10^{10} \le 10^{10(10+1)/2}
[/mm]
[mm] \gdw 1^1 [/mm] * [mm] 2^2 [/mm] * [mm] 3^3 [/mm] * [mm] 4^4 [/mm] * [mm] \cdots 10^{10} \le [/mm] 10^55
[mm] \gdw 10^{44} \le 10^{55}
[/mm]
und nicht [mm] 10^{10} \le 10^{55}
[/mm]
Also das Problem, welches ich habe ist ja, dass ich das +1 aus der Basis nicht rausbekomme :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Antwort an die falsche Stelle gerückt
Hallo Tilo
Dein Beweis ist richtig.
Nur: die Aufgabe fängt bei i=1 an, dann sollte man auch die Induktion bei i=1 anfangen, da [mm] 0^0 [/mm] doch wahrscheinlich nicht definiert ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:52 So 01.11.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo TiloW,
wie leduard schon sagt, solltest du bei $n=1$ anfangen.
Der Induktionsanfang sollte klar sein. (Vergiss auch die Induktionsvoraussetzung nicht!)
Beim Induktionsschritt kannst du benutzen, dass [mm] $(n+1)^{n+1}\le n^{n+1}$.
[/mm]
Die entscheidende Stelle ist [mm] $\ldots =n^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot (n+1)^{n+1}\le n^{\frac{n(n+1)}{2}}\cdot n^{n+1}=\ldots$
[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Hallo Fulla,
> Beim Induktionsschritt kannst du benutzen, dass
> [mm](n+1)^{n+1}\le n^{n+1}[/mm].
Bist du dir da sicher? Wenn n nicht irgendwie eingeschränkt ist (was ich in der Aufgabenstellung nicht sehe), dann ist diese Aussage im Allgemeinen falsch:
[mm] $3^{3} [/mm] > [mm] 2^{3}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 01.11.2009 | | Autor: | Fulla |
oh oh oh....
da hab ich mich aber ordentlich vertan. Das von mir Vorgeschlagene ist natürlich falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 So 01.11.2009 | | Autor: | TiloW |
Habs selbst gelöst (glaub ich^^):
z.z [mm] \produkt_{i=0}^{n}i^i \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}}
[/mm]
Anmerkung:
n [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow (n+1)^{n+1} [/mm] > 0
Das leere Produkt ist [mm] \produkt_{i=1}^{0}f(i) [/mm] = 1
Induktion über n
für n = 0
[mm] \produkt_{i=0}^{0}i^i \le n^{\bruch{0(0+1)}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1
OK
für n -> n+1
[mm] \produkt_{i=0}^{n}i^i \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n}i^i [/mm] * [mm] (n+1)^{n+1} \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}} [/mm] * [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}} [/mm] * [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le n^{\bruch{n^2+n)}{2}} [/mm] * [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le (n+1)^{\bruch{n^2+n)}{2}} [/mm] * [mm] (n+1)^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le (n+1)^{\bruch{n^2+n)}{2}+(n+1)}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le (n+1)^{\bruch{n^2+3n+2)}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{i=0}^{n+1}i^i \le (n+1)^{\bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}}
[/mm]
OK
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \in \IN (\produkt_{i=0}^{n}i^i \le n^{\bruch{n(n+1)}{2}})
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 So 01.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Tilo
Dein Beweis ist richtig.
Nur: die Aufgabe fängt bei i=1 an, dann sollte man auch die Induktion bei i=1 anfangen, da [mm] 0^0 [/mm] doch wahrscheinlich nicht definiert ist.
Gruss leduart
|
|
|
|
