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Beweis einer Equivalenz von =: s*a+t*b=c <=> ggt(a,b)*p=c
Status: (Question) answered Status 
Date: 02:54 Mo 19/11/2018
Author: asg

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Gleichung $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$ genau dann eine Lösung $s,t [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] hat, wenn $c$ ein Vielfaches von $ggT(a,b)$ ist.


Hallo zusammen,

bei dem Beweis bin ich mir nicht ganz sicher. Ich habe die Äquivalenz wie folgt gezeigt:

z.z. $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c [mm] \Leftrightarrow [/mm] ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$

Beweis [mm] "$\Rightarrow$": [/mm]
Annahme: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$
Behauptung: Dann gilt $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$

Beweis: $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] p = s [mm] \cdot \frac{a}{ggt(a, b)} [/mm] + t [mm] \cdot \frac{b}{ggt(a, b)} [/mm] = s [mm] \cdot [/mm] q + t [mm] \cdot [/mm] r$ mit $q = [mm] \frac{a}{ggt(a, b)} \in \mathbb{Z}$ [/mm] und $r = [mm] \frac{b}{ggt(a, b)} \in \mathbb{Z}$ [/mm]

Somit gibt es ein $p [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] für die Gleichung und die Implikation ist damit gezeigt.

Für die Rückrichtung mache ich es eigentlich gleich:

Annahme: $ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p = c$
Behauptung: Dann gilt $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = c$


Beweis: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = ggT(a,b) [mm] \cdot [/mm] p$
Hier sind die Schritte gleich wie oben …

Ich könnte auch den Satz von Bézout für Hin- und Rück-Richtung benutzen, der sagt: $s [mm] \cdot [/mm] a + t [mm] \cdot [/mm] b = ggT(a,b) $
Dann kommt in beiden Fällen $p=1$ raus.

Der ganze Beweis kommt mir komisch vor. Vor allem weil Hin- und Rück-Richtung identisch sind.

Kann mir bitte jemand helfen?

Danke vorab

Viele Grüße

Asg


        
Bezug
Beweis einer Equivalenz von =: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:08 Mo 19/11/2018
Author: fred97

Zunächst haben wir mit dem Lemma von Bézout:

es ex. u,v [mm] \in \IZ [/mm] mit :

(*) [mm] \ggT(a,b)=ua+vb. [/mm]

1. Die Gleichung sa+tb=c habe eine Lösung s,t [mm] \in \IZ. [/mm] Dann ist

[mm] \frac{c}{\ggT(a,b)}=\frac{s}{\ggT(a,b)}a+\frac{t}{\ggT(a,b)}b. [/mm]

Wir setzen [mm] p:=\frac{s}{\ggT(a,b)}a+\frac{t}{\ggT(a,b)}b. [/mm] Dann ist p [mm] \in \IZ [/mm] und c=p [mm] \ggT(a,b). [/mm]

2. Mit einem p [mm] \in \IZ [/mm] sei c=p [mm] \ggT(a,b). [/mm] Aus (*) folgt:

c=(pu)a+(pv)b.

Damit hat die Gleichung  sa+tb=c  die Lösung s=pu, t=pv.

P.S: Du hättest erwähnen sollen, dass Du die Frage auch hier

https://math.stackexchange.com/questions/3004624/how-to-prove-an-equivalence-of-two-equations

gestellt hast.

Bezug
                
Bezug
Beweis einer Equivalenz von =: Danke!
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:33 Mo 19/11/2018
Author: asg

Hallo,

Dankeschön für die Hilfe. Nun verstehe ich es.

Viele Grüße

Asg

PS: Tut mir leid für Doppelposting. Diese Frage hatte ich hier gestern Nacht geschrieben. Als die Zeit knapp wurde, habe ich sie erst um 7:40 in stackexchange gestellt.

Bezug
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