Beweis einer Gleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 08.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Hallo ich soll folgende Gleichung beweisen und den geometrischen Hintergrund der Gelichung angeben.
Gleichung:
[mm] $\vert z_1+z_2\vert^2+ \vert z_1 [/mm] - [mm] z_2 \vert ^2=2(\vert z_1 \vert^2 [/mm] + [mm] \vert z_2 \vert^2)$
[/mm]
Den Beweis habe ich so gemacht:
[mm] $z_1=x_1+iy_1$
[/mm]
[mm] $z_2=x_2+iy_2$
[/mm]
[mm] $(x_1+x_2)^2+((y_1+y_2)i)^2+(x_1-x_2)^2+((y_1-y_2)i)^2=2x_1^2+2x_2^2+2y_1^2+2y_2^2$
[/mm]
[mm] $x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+y_1^2+2y_1y_2+y_2^2+x_1-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2=2x_1^2+2x_2^2+2y_1^2+2y_2^2$
[/mm]
[mm] $2x_1^2+2x_2^2+2y_1^2+2y_2^2=2x_1^2+2x_2^2+2y_1^2+2y_2^2$
[/mm]
Ist das so korrekt?
Allerdings tue ich mich schwer mit dem geometrischen Hintergrund. Könnte das vielleicht jemand erläutern?
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Hi,
es handelt sich hierbei um die Parallelogrammgleichung im Komplexen:
Dort findest du sogar den Beweis, weshalb ich deine Ausführungen jetzt nicht kontrolliert habe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogrammgleichung
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