Beweis einer Gleichung mit Sum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:25 Sa 18.11.2006 | | Autor: | SvenMathe |
| Aufgabe | Beweis!!!
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}*i^2 [/mm] = (-1)^(n+1)*n*(n+1)/2
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Hallo, kann mir jemand dabei behilflich sein? Ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll. Vielen Dank
Sven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Sven,
ich schlage einen Beweis durch vollständige Induktion nach n vor. Das habt ihr doch schon behandelt, oder?
l G walde
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jap...danke, das hatten wir schon aber wie führe ich die vollst. induktion hier durch?
lg sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Wapiya |
I.A.: Setze n=1 und schau mal was raus kommt
I.S.: Nimm an die Beh. sei wahr für [mm] n\varepsilon\IN [/mm] und adiere zu deiner Summe von 1 bis n noch das Glied n+1 hinzu und schau mal was raus kommt.
Gruß
Wapiya
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:20 Mo 20.11.2006 | | Autor: | SvenMathe |
nein...das klappt bei mir nicht so...
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> nein...das klappt bei mir nicht so...
Hallo,
das sollte schon klappen.
Was hast Du denn getan bisher?
Gruß v. Angela
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hey angela,
hab wieder über der summe mit 1+n erweitert bekomme den bruch aber nicht weg und bei dem v zum quadrat weiß ich nicht so recht...bin halt neuling...sorry
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Schreib's doch mal hin, damit man es angucken kann und schauen, wo eventuell ein Fehler liegt, oder ob man nur geschickter umformen muß.
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{v=1}^{n+1}(-1)^{v+1}*v^2+((-1)^{v+1}*v^2+1)= [/mm] (-1)^(n+1)*n*(n+1)/2
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> [mm]\summe_{v=1}^{n+1}(-1)^{v+1}*v^2+((-1)^{v+1}*v^2+1)=[/mm]
> (-1)^(n+1)*n*(n+1)/2
Na, das kann auch nicht klappen.
Weißt Du eigentlich, was Du zeigen willst?
Also von vorn:
Bewiesen werden soll
Für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: $ [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 [/mm] $ = [mm] (-1)^{n+1}*n*(n+1)/2
[/mm]
Bew. mit vollst. Induktion:
Induktionsanfang: Hier weist man die Gultigkeit der Aussage für n=1 nach.
Hast Du das getan? Wie?
Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, daß für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: $ [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 [/mm] $ = [mm] (-1)^{n+1}*n*(n+1)/2
[/mm]
Induktionsschluß: Hier zeigt man, daß, sofern die Aussage für alle n gilt, sie auch für n+1 gilt.
zu zeigen ist hier also
Es ist $ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 [/mm] $ = [mm] (-1)^{(n+1)+1}*(n+1)*((n+1)+1)/2.
[/mm]
Man startet mit
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 +(-1)^{(n+1)+1}\cdot{}(n+1)^2
[/mm]
=...
und formt dies unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung um, bis am Ende dasteht
[mm] ...=(-1)^{n+2}*(n+1)*(n+2)/2
[/mm]
Gruß v. Angela
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danke angela, aber:
> > [mm]\summe_{v=1}^{n+1}(-1)^{v+1}*v^2+((-1)^{v+1}*v^2+1)=[/mm]
> > (-1)^(n+1)*n*(n+1)/2
>
> Na, das kann auch nicht klappen.
> Weißt Du eigentlich, was Du zeigen willst?
>
> Also von vorn:
> Bewiesen werden soll
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2[/mm]
> = [mm](-1)^{n+1}*n*(n+1)/2[/mm]
>
> Bew. mit vollst. Induktion:
> Induktionsanfang: Hier weist man die Gultigkeit der
> Aussage für n=1 nach.
> Hast Du das getan? Wie?
>
> Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, daß für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2[/mm] =
> [mm](-1)^{n+1}*n*(n+1)/2[/mm]
>
> Induktionsschluß: Hier zeigt man, daß, sofern die Aussage
> für alle n gilt, sie auch für n+1 gilt.
> zu zeigen ist hier also
> Es ist [mm]\summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2[/mm] =
> [mm](-1)^{(n+1)+1}*(n+1)*((n+1)+1)/2.[/mm]
>
> Man startet mit
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2[/mm]
> [mm]=\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 +(-1)^{(n+1)+1}\cdot{}(n+1)^2[/mm] wie kommst du auf die Zeile, was hast du hier getan?
>
> =...
>
> und formt dies unter Zuhilfenahme der
> Induktionsvoraussetzung um, bis am Ende dasteht
>
> [mm]...=(-1)^{n+2}*(n+1)*(n+2)/2[/mm]
>
> Gruß v. Angela
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> > Man startet mit
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2[/mm]
> >
> [mm]=\summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1}\cdot{}i^2 +(-1)^{(n+1)+1}\cdot{}(n+1)^2[/mm]
> wie kommst du auf die Zeile, was hast du hier getan?
Schau Dir die erste Summe an: sie läuft von 1 bis n+1.
Die zweite Summe läuft nur von 1 bis n, daher mußte ich noch das (n+1)-te Glied addieren, um Gleichheit zu haben.
Guck dieses kleine Beispiel an:
[mm] \summe_{i=1}^{4}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2=\summe_{i=1}^{3}i^2+4^2
[/mm]
Gruß v. Angela
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hey danke angela,
jetzt hab ichs auch mal gecheckt...das mit den ordnungsaxiomen hab ich in der anderen Aufgabe gepostet, wenn du dann nochmal schauen möchtest. Wär Dir sehr dankbar
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